Comprobación de la continuidad de la proyección estereográfica de dos maneras

Question

Consideremos los espacios topológicos $(S^2\smallsetminus{N},\tau_a)$ donde $N=(0,0,1)$ y $\tau_a$ es la topología del subespacio inducida por la topología estándar $\tau_{\mathbb{R^3}}$ en $\mathbb{R}^3$ y $(\mathbb R^2,\tau_{\mathbb{R}^2})$ . Consideremos entonces la proyección estereográfica $S^2\smallsetminus{N}\to$ y su inversa.

La definición de continuidad que he visto es que las preimágenes de conjuntos abiertos son abiertas. En este ejemplo concreto también puedo decir que la proyección estereográfica mapea círculos en círculos.

Pero hay otra forma de ver la continuidad: si cada componente de la proyección estereográfica y su inversa son "visiblemente" composiciones de funciones continuas.

Mi pregunta es: ¿por qué es correcto el segundo planteamiento? Si las funciones fueran funciones de $\mathbb {R^3}$ Yo no vería ningún problema, pero en este caso tengo dos topologías diferentes en dos espacios diferentes y debería utilizar la definición de conjunto abierto.

¿Cómo puedo pasar de una definición a otra sin problemas?

Answer 1

Preferiría hacer un comentario, pero no tengo suficiente reputación. Tu pregunta es justa, solo que te falta el concepto de topología del producto que puede resultar un poco confuso al principio, pero es muy importante (y una buena introducción a las propiedades universales). En primer lugar, al menos si estás estudiando topología general, debes considerar la definición de continuidad preimágenes-de-conjuntos-abiertos-como tu definición base, cualquier otra definición de continuidad tiene que ser un caso especial de ésta. En particular, es posible que hayas encontrado otras definiciones de continuidad estudiando análisis, pero se puede demostrar que coinciden con la "verdadera" definición de continuidad (sólo con espacios más generales que los que encuentras en el análisis básico se hace indispensable la definición "verdadera"). Ahora bien, la razón por la que en análisis podemos comprobar la continuidad de una función $X\to\mathbb{R}^n$ sobre sus componentes es que la topología sobre el espacio producto $\mathbb{R}^n$ es definido como la única topología para la que los mapas continuos con objetivo $\mathbb{R}^n$ son precisamente las que vienen dadas por mapas continuos a cada uno de los factores del producto: dando así un mapa continuo, $X\to\mathbb{R}^n$ es exactamente lo mismo que dar $n$ mapas continuos $X\to\mathbb{R}$ . Esto puede generalizarse a productos de espacios topológicos más generales que $\mathbb{R}$ que es el contenido del artículo de Wikipedia que he enlazado, y se puede encontrar en la mayoría de los libros que tratan de topología general (por ejemplo Topología por Munkres o, suponiendo por tu nombre que eres italiano, Geometría 2 de Sernesi). En cuanto al mapa inverso, si entiendes la topología del subespacio, verás que puedes hacer un argumento muy similar (además, no necesitas que los círculos sean enviados a círculos, lo cual no es realmente cierto de todos modos, sólo algunos de ellos lo son).