$3(a+{1\over a}) = 4(b+{1\over b}) = 5(c+{1\over c})$ y $ab+bc+ca=1$

Question

Esta era la cuestión :

$3(a+{1\over a}) = 4(b+{1\over b}) = 5(c+{1\over c})$ donde $a,b,c$ son números positivos y $ab+bc+ca=1$ ,

$5({1-a^2\over 1+a^2}+{1-b^2\over 1+b^2}+{1-c^2\over 1+c^2}) = ?$

He pasado mucho tiempo intentando reordenar los términos y combinar las dos condiciones para obtener la expresión requerida, pero no he conseguido la forma correcta.

Lo escribí como :

$5({2\over 1+a^2}+{2\over 1+b^2}+{2\over 1+c^2} -3) $

Esto parecía más simple que la expresión requerida , no pude llegar a nada más útil.

¿Podría alguien ayudarme a resolver esta cuestión?

Gracias.

Answer 1

La pista.

Sea $a=\tan\frac{\alpha}{2},$ $b=\tan\frac{\beta}{2}$ y $c=\tan\frac{\gamma}{2},$ donde $\{\alpha,\beta,\gamma\}\subset(0^{\circ},180^{\circ}).$

Así, $ab+ac+bc=1$ da $\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$ y el resto da $$\frac{3}{\sin\alpha}=\frac{4}{\sin\beta}=\frac{5}{\sin\gamma},$$ que da $\gamma=90^{\circ}$ y $c=1.$

¿Puedes terminar ya?

Desde $c=1$ obtenemos: $$b\in\{2,\frac{1}{2}\}$$ y $$a\in\{3,\frac{1}{3}\},$$ pero como $$ab+ac+bc=1,$$ obtenemos: $$(a,b,c)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right).$$