¿Por qué se llaman así las medidas absolutamente continuas?

Question

Sea $X\subseteq \Bbb{R}^n$ y $\mathcal{B}(X)$ el conjunto boreliano para $X$ . Sea $\mu$ y $\nu$ sean dos medidas sobre $(X,\mathcal{B})$ . Decimos que $\mu$ es absolutamente continua con respecto a $\nu$ (denotado por $\mu\ll \nu$ ) si $\forall A\in\mathcal {B}(X),\; \mu(A)=0\implies \nu(A)=0$ .

En general, la continuidad se refiere a algún tipo de suavidad de una función: pequeñas variaciones en el dominio dan una pequeña variación en el codominio. No veo cómo esta definición encaja en esta categoría, lo que me lleva a preguntarme, ¿por qué se llaman así las medidas absolutamente continuas? Busco quizá una respuesta histórica (la razón por la que empezó a llamarse así) o una respuesta que apele a la propia definición (algo en la definición que haga razonable que se llame así).

Answer 1

Las condiciones $$ \forall A \in \mathcal B(X): \quad ( \mu(A) = 0 \;\Rightarrow\; \nu(A) = 0 ) $$ y $$ \forall \varepsilon > 0 : \exists \delta > 0 : \forall A \in \mathcal B(X): \quad ( \mu(A) \le \delta \;\Rightarrow\; \nu(A) \le \varepsilon ) $$ en caso de que $\mu$ es $\sigma$ -finito y $\nu$ es finito. La dirección " $\Leftarrow$ " es claro, mientras que " $\Rightarrow$ "se deduce del teorema de Radon-Nikodým y de la continuidad absoluta de la integral de Lebesgue.

Por último, observamos que la segunda condición es muy similar a la continuidad absoluta de una función. En efecto, una función $F \colon [a,b] \to \mathbb R$ se denomina absolutamente continua, si \begin{equation*} \sum_{i = 1}^n (y_i - x_i) \le \delta \quad\Rightarrow\quad \sum_{i = 1}^n | F(y_i) - F(x_i) | \le \varepsilon. \end{equation*} se cumple para subintervalos disjuntos arbitrarios $(x_i,y_i) \subset [a,b]$ , $x_i < y_i$ , $i = 1,\ldots, n$ , $n \in \mathbb N$ . Ahora, dejemos que $\mu$ sea la medida de Lebesgue sobre $\mathbb R$ y $\nu$ la medida de Lebesgue-Stieltjes definida mediante $F$ . Entonces, la continuidad absoluta de $F$ es equivalente a $$ \forall \varepsilon > 0 : \exists \delta > 0 : \forall A \in \mathcal F: \quad ( \mu(A) \le \delta \;\Rightarrow\; \nu(A) \le \varepsilon ), $$ donde $\mathcal F$ contiene todas las uniones de un número finito de intervalos.

Answer 2

En realidad, la continuidad no tiene nada que ver con la suavidad, sólo con la existencia de un límite en un punto.

Una función es continua en $x=a$ si:

$$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$

Estoy de acuerdo en que los límites de las funciones se definen de tal manera que siempre podemos encontrar un intervalo en $x$ que corresponde a un intervalo determinado alrededor del límite $L$ de $f(x)$ (lo de siempre $\delta-\epsilon$ definición).

La suavidad está relacionada con la diferenciabilidad de una función, por lo que la continuidad de su derivada .

Un contraejemplo bastante estándar de esto es el Función Weierstrass que no es suave, pero sí continua.

El concepto de absolutamente continuo anterior está relacionado con la $\delta-\epsilon$ pero aquí sólo tratamos de conjuntos generales y su medida. Estas dos nociones están relacionadas, pero no son lo mismo (véase más adelante).

Un ejemplo de función continua, pero no absolutamente continua, es la función Función de Cantor -- no es la integral de su derivada puntual, que es 0 en casi todas partes, excepto en un conjunto incontable de medida 0.

En cuanto a por qué "absolutamente" esto puede ser para compararlo con " absolutamente convergente ", que es el tipo de convergencia necesario trabajar con series infinitas de forma análoga a las series finitas. De forma análoga, la convergencia absoluta es mayor que la convergencia puntual o uniforme .

Este parece el vínculo histórico más fuerte -- en que las funciones absolutamente continuas se comportan como las funciones "bonitas" del cálculo -- son las integrales de sus derivadas (a diferencia del funciones singulares de la que la función de Cantor es un ejemplo)

Answer 3

Comentario. Supongo que habría que consultar a G. Vitali. (1905, acuñó el término "función absolutamente continua"; posteriormente se modeló a partir de él la "medida absolutamente continua").

En Palabras matemáticas :

CONTINUIDAD ABSOLUTA . El concepto fue introducido en 1884 por E. Harnack "Die allgemeinen Sätze über den Zusammenhang der Functionen einer reellen Variabelen mit ihren Ableitungen. II. parte". Matemáticas. Ann. 21, (1884), 217-252. El término fue introducido en 1905 por G. Vitali. Entretanto, varios matemáticos habían utilizado el concepto. Véase T. Hawkins Teoría de la integración de Lebesgue .