¿Por qué dos nociones de curvatura de Gauss son iguales? ¿Cuál es la prueba más sencilla y didáctica?

Question

Esta pregunta sigue abierta: todas las respuestas hasta ahora se basan en cálculos mágicos. Sólo he aceptado una respuesta porque, según las normas de la recompensa, de lo contrario se aceptaría una automáticamente. No puedo cambiar la respuesta aceptada, pero sería estupendo que se debatiera más sobre esta cuestión.

Me gustaría una buena prueba (o una demostración convincente), para una superficie en $\mathbb R^3$ que explica por qué las nociones siguientes son equivalentes:

1) La curvatura, definida por el área de la esfera que el mapa de Gauss traza sobre una región.

1.5) La integral del producto de curvaturas principales.

2) El defecto angular de transporte paralelo alrededor de un triángulo geodésico.

(Esta equivalencia puede considerarse como una parte del Teorema Egregium o como una parte de Gauss-Bonnet. Demostrar que los números 1 y 1,5 son iguales es bastante fácil).

Motivación: Imparto una clase de cinco días para estudiantes de secundaria muy brillantes. La idea es darles una idea de lo que es la geometría. Sin embargo, cuando vi la demostración de Spivak, era un cálculo mucho más complicado de lo que esperaba. Me gustaría, si es posible, algo más conceptual, idealmente con una bonita imagen adjunta.

Dado que no tiene por qué ser una clase perfectamente completa, estaré perfectamente satisfecho con una buena ilustración de por qué esto es cierto en lugar de una prueba rigurosa, si un conceptual y una prueba rigurosa está completamente fuera de lugar.

Una idea que he tenido es mostrar el ejemplo de una esfera y el plano hiperbólico, y luego explicar que a escalas muy pequeñas la curvatura es constante. Sin embargo, entonces necesitaría una buena prueba de que las incrustaciones del plano hiperbólico en $\mathbb R^3$ tienen curvatura -1.

¡Muchas gracias!

P.D. Esta pregunta está relacionada, pero no es exactamente lo mismo (espero), con esta pregunta: Definiciones equivalentes de la curvatura de Gauss

P.P.S. Gracias a quien recomendó a Berger "Panoramic View of Riemannian Geometry". me resultó bastante útil. No sé por qué ha borrado su respuesta.

Ese libro afirma que no hay pruebas conceptuales. Sin embargo, todavía estaría muy contento con una buena ilustración de por qué uno debe creer esto, especialmente para la curvatura negativa.

Answer 1

Esto no es en absoluto una respuesta completa, pero una parte clave de la correspondencia se encuentra en las fórmulas de área de los triángulos esféricos e hiperbólicos en términos de exceso/defecto angular. Una vez que te hayas convencido a ti mismo (o a tus alumnos) de que una esfera es la superficie modelo para una curvatura positiva constante y de que las "cuñas" en el círculo tienen un área directamente proporcional a su área e inversamente proporcional a la curvatura, entonces existe una prueba visual directa de la fórmula del área en términos de exceso angular: Pruebas sin palabras

En el caso de curvatura negativa, una vez que se tiene el disco de Poincare como superficie modelo con curvatura negativa constante, se puede adoptar una táctica similar. Sustituya la noción de "cuña" de ángulo $\theta$ con la noción de triángulo geodésico doblemente asintótico cuyo vértice finito tiene ángulo $\theta$ . Una vez establecido que esta región tiene un área directamente proporcional a $\pi - \theta$ e inversamente proporcional al (valor absoluto de la) curvatura, entonces hay una prueba visual directa similar de la fórmula del área para un triángulo geodésico en términos de defecto angular: Pruebas sin palabras

Answer 2

Sea $K_e$ sea la curvatura extrínseca de Gauss, definida como el producto de las curvaturas principales. Sea $K_i$ sea la curvatura intrínseca de Gauss, definida por la rapidez con que las geodésicas se desvían unas de otras (lo que me resulta un poco más intuitivo que utilizar el transporte paralelo).

Aunque puede ser complicado demostrar que $K_e=K_i$ afirmo que es intuitivo que si $K_e$ y $K_i$ son ambos distintos de cero, entonces deben tener el mismo signo: Cuando $K_e<0$ existen direcciones tangentes ortogonales en las que la superficie se curva en frente a direcciones alejadas del plano tangente. Así que es de esperar que las geodésicas en esas direcciones ortogonales se desvíen más rápido que en el espacio euclidiano. Cuando $K_e>0$ , la superficie (cercana al punto) permanece en un lado del plano tangente. Como ahora todas las geodésicas se curvan en la misma dirección, es de esperar que se desvíen más despacio que en el espacio euclídeo. Vale, eso no es realmente una prueba, pero tiene sentido. Y parece más que adecuada para niños de secundaria.

Para responder a tu pregunta, creo que, en definitiva, el Teorema Egregio de Gauss se reduce a un cálculo. Creo que lo mejor que podemos hacer es utilizar suficiente geometría para que el cálculo sea fácil. Un buen ejemplo es la demostración en Riemannian Geometry de Frank Morgan: A Beginner's Guide, de Frank Morgan, página 23, que es breve y fácil. Sin embargo, sólo demuestra que $K_e$ es intrínseca. Todavía se podría querer demostrar que la fórmula intrínseca que se obtiene coincide con alguna descripción geométrica más agradable (como por ejemplo $K_i$ anterior), lo que requerirá algunos cálculos adicionales.