¿Por qué dos nociones de curvatura de Gauss son iguales? ¿Cuál es la prueba más sencilla y didáctica?

Question

Esta pregunta sigue abierta: todas las respuestas hasta ahora se basan en cálculos mágicos. Sólo he aceptado una respuesta porque, según las normas de la recompensa, de lo contrario se aceptaría una automáticamente. No puedo cambiar la respuesta aceptada, pero sería estupendo que se debatiera más sobre esta cuestión.

Me gustaría una buena prueba (o una demostración convincente), para una superficie en $\mathbb R^3$ que explica por qué las nociones siguientes son equivalentes:

1) La curvatura, definida por el área de la esfera que el mapa de Gauss traza sobre una región.

1.5) La integral del producto de curvaturas principales.

2) El defecto angular de transporte paralelo alrededor de un triángulo geodésico.

(Esta equivalencia puede considerarse como una parte del Teorema Egregium o como una parte de Gauss-Bonnet. Demostrar que los números 1 y 1,5 son iguales es bastante fácil).

Motivación: Imparto una clase de cinco días para estudiantes de secundaria muy brillantes. La idea es darles una idea de lo que es la geometría. Sin embargo, cuando vi la demostración de Spivak, era un cálculo mucho más complicado de lo que esperaba. Me gustaría, si es posible, algo más conceptual, idealmente con una bonita imagen adjunta.

Dado que no tiene por qué ser una clase perfectamente completa, estaré perfectamente satisfecho con una buena ilustración de por qué esto es cierto en lugar de una prueba rigurosa, si un conceptual y una prueba rigurosa está completamente fuera de lugar.

Una idea que he tenido es mostrar el ejemplo de una esfera y el plano hiperbólico, y luego explicar que a escalas muy pequeñas la curvatura es constante. Sin embargo, entonces necesitaría una buena prueba de que las incrustaciones del plano hiperbólico en $\mathbb R^3$ tienen curvatura -1.

¡Muchas gracias!

P.D. Esta pregunta está relacionada, pero no es exactamente lo mismo (espero), con esta pregunta: Definiciones equivalentes de la curvatura de Gauss

P.P.S. Gracias a quien recomendó a Berger "Panoramic View of Riemannian Geometry". me resultó bastante útil. No sé por qué ha borrado su respuesta.

Ese libro afirma que no hay pruebas conceptuales. Sin embargo, todavía estaría muy contento con una buena ilustración de por qué uno debe creer esto, especialmente para la curvatura negativa.

Answer 1

Existe una breve demostración conceptual de Gauß-Bonnet debida a Chern (véase también "Una visión panorámica de la geometría de Riemann" de Berger). No obstante, el argumento presupone una familiaridad básica con las formas diferenciales.

Supongamos que la superficie $S$ está orientada de forma que su medida canónica $dm$ es una 2-forma. Consideremos el conjunto de todos los vectores unitarios tangentes a $S$ es decir, la fibra unitaria $US$ de $S$ . La proyección canónica $p:US\to S$ asocia a cada vector unitario un punto en $S$ donde es tangente. Ahora, $US$ es un 3manifold que posee una forma diferencial canónica $\zeta$ . La derivada exterior $d\zeta$ es la forma elevada por $p$ en $US$ de la 2-forma de la curvatura $K(m)dm$ . Si el dominio $D\subset S$ es simplemente conexo, se puede definir un campo continuo $\xi$ de vectores unitarios en $D$ por lo tanto, $D$ puede elevarse a $US$ .

La fórmula de Gauß-Bonnet se deduce directamente de la fórmula de Stokes aplicada a $\xi(D)$ ya que la forma 1 canónica $\zeta$ es la curvatura geodésica. En realidad es más de lo que pides porque el límite de $D$ no tiene por qué consistir en geodésicas.

Answer 2

Una versión discreta de la curvatura puede ayudar a los estudiantes de secundaria. Tomemos un poliedro en $R^3$ y definimos la curvatura en un vértice $v$ por $2 \pi K(v) = 2 \pi - \theta_1 - \ldots - \theta_k$ donde $\theta_j$ es el ángulo en $v$ de la j-ésima cara 2 que contiene $v$ . Esto da una medida de lo afilado que es ese vértice. Para simplificar, supongamos que sólo hay tres caras que se encuentran en $v$ . Sean los vectores normales a las caras $n_1$ , $n_2$ , $n_3$ . Son los vértices de un triángulo geodésico en la esfera, que es un análogo de la región que abarca el mapa de Gauss en una superficie. Por geometría esférica tenemos que el área de este triángulo es $A = \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 - \pi$ donde $\beta_j$ son los ángulos. Se demuestra entonces que $\beta_j = \pi - \theta_j$ por lo que tenemos la bonita fórmula $ A = 2 \pi K(v)$ . Creo que de forma similar se puede argumentar con el transporte paralelo (ver comentario de pasquale más abajo). No he probado el cálculo, pero debería funcionar. También se cumple el teorema global de Gauss-Bonnet: si sumas la curvatura de los vértices de un poliedro cerrado, el resultado es la característica de Euler (creo que esto fue demostrado originalmente por Descartes, pero no estoy seguro).

Answer 3

Hay una "prueba" física de este hecho que aprendí de Mark Levy; está en su libro "EL MECÁNICO MATEMÁTICO: Utilizar el razonamiento físico para resolver problemas" .

Imagina que mantienes el eje de una rueda de bicicleta y lo mueves de tal manera que la rueda de la bicicleta se encuentra en el plano tangente a la superficie. En la posición inicial la rueda permanece quieta; recorres el bucle de la superficie y te detienes. Después la rueda gira un cierto ángulo $\alpha$ . Si tu bucle era triangular este ángulo es su defecto; este es (2) en tu lista.

El movimiento paralelo no hace girar la rueda, por lo que el resultado será el mismo si sólo giras el eje sin mover el centro de la rueda. Esto le indica que $\alpha$ depende únicamente de la imagen esférica del bucle y a partir de aquí es fácil ver que es proporcional al área algebraica del dominio delimitado por la imagen esférica de la espira. Es decir, el área de la esfera que el mapa de Gauss traza sobre una región; esto es (1) en su lista.

Answer 4

Para los estudiantes de bachillerato en cuestión, podría sugerir un enfoque infinitesimal, traducido del lenguaje abstracto del Campos de Jacobi y primera variación para trabajar concretamente con ángulos y áreas muy pequeños.

Un primer ejemplo puede venir de tomar un par de segmentos geodésicos de igual longitud originados en un punto, con un ángulo muy pequeño (por ejemplo, $\epsilon$ con $\epsilon^2=0$ ) entre ellos, y considera cómo cambia el área del triángulo geodésico delgado que se forma a medida que aumentas la longitud. En primer orden en $\epsilon$ se encuentra que la segunda derivada del área es menos la curvatura. Esto también es válido para cualquier geodésica "muy cercana" que no se cruce necesariamente en ningún sitio, sino que defina lados opuestos de un cuadrilátero muy delgado.

Del mismo modo, se puede tomar un triángulo geodésico degenerado $ABC$ donde $AB$ y $BC$ recostarse a lo largo de $AC$ y pulse $B$ lejos de $AC$ infinitesimalmente (equivalentemente, que los ángulos en $A$ y $C$ se convierten en infinitesimales adecuados, con el ángulo en $B$ en $\pi$ menos otro infinitesimal). El resultado es la fórmula del exceso de ángulo, expresada como una integral ponderada de la curvatura a lo largo de $AC$ o, lo que es lo mismo, una integral de curvatura sobre el área del triángulo.

Ahora sólo tienes que ensamblar o deformar algunos triángulos muy finos en uno grande.

Answer 5

(Realmente quería hacer de esto sólo un comentario. Y, además, probablemente ya sepas todo esto)

Supongo que no veo por qué mostrar la equivalencia de los tres enunciados sería útil para los alumnos, a menos que quieras mostrarles cómo se puede utilizar el cálculo para definir ciertos conceptos y demostrar teoremas sobre ellos. Para mí, todos los conceptos implicados son bastante difíciles de definir de forma puramente geométrica, pero muy fáciles utilizando el cálculo y el álgebra lineal.

Para una visión más geométrica (pero no rigurosa), ¿no sería mejor hacer algo como lo siguiente (más o menos tomado de Guillemin y Pollack):

1. Construye un modelo del plano hiperbólico.
2. Demuestre cómo la suma de los ángulos de un triángulo geodésico depende del área para una esfera o un plano hiperbólico (no estoy seguro de cómo hacerlo) y utilícelo para motivar la noción de curvatura de Gauss.
3. O definir el mapa de Gauss $G$ y definimos la curvatura de Gauss mediante $A(G(R))/A(R)$ para una región $R$ .
4. Utilizando imágenes de ejemplos, muestre cómo se relaciona el grado del mapa de Gauss con el género de una superficie orientable.
5. Utilizando c) y d), motiva el teorema de Gauss-Bonnet

Otra posibilidad es trabajar con una superficie poligonal (quizá sólo con caras triangulares). No tengo ninguna sugerencia constructiva, pero seguro que otros sí. Además, me he topado con esto prueba elemental de Gauss-Bonnet