Rama de función multivaluada (análisis complejo)

Question

Encontrar una sucursal de $(z^3 - 1)^{1/3}$ que es analítica en $|z| > 1$

Así que esencialmente queremos estudiar $\frac 13\text{Log} (1 - \frac 1{z^3} )$ la rama principal del logaritmo donde $-\pi < \text{Arg} (z) < \pi $ . Los problemas surgen cuando $\text{Re}(z^3 - 1) \leq 0 $ y $\text{Im} (z^3 - 1) = 0$ es decir, cuando $z^3 - 1$ es un número real no positivo.

Planteando estas ecuaciones, ¿cómo puedo obtener el resultado $|z| > 1$ ?

Answer 1

Sea $$ \omega_1=1, \quad \omega_2=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\quad\text{and}\quad \omega_3=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}. $$

Un dominio para $\,\sqrt[3]{1-z^3}\,$ podría ser $$ \Omega=\mathbb C\smallsetminus \big([0,\omega_1]\cup[0,\omega_2]\cup [0,\omega_3]\big). $$ Por $[a,b]$ para $a,b\in \mathbb C$ denotamos el segmento que une $a$ y $b$ en el plano complejo.

Claramente $\{z:\lvert z\rvert>1\}\subset\Omega$ .

Para demostrarlo se necesita el siguiente lema:

Si $a,b$ pertenecen a la misma componente conexa de $\mathbb C\smallsetminus\Omega$ entonces $$ f(z)=\log\left(\frac{z-a}{z-b}\right), $$ es definible como holomorfa en $\Omega$ .

Utilizando este lema, podemos ver fácilmente que $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ pertenecen al único componente de $\mathbb C\smallsetminus\Omega$ y $$ \sqrt[3]{1-z^3}=(z-\omega_3)\exp\left( \frac{1}{3}\log\left(\frac{z-\omega_1}{z-\omega_3}\right)+ \frac{1}{3}\log\left(\frac{z-\omega_2}{z-\omega_3}\right) \right). $$