Conjunción de dos declaraciones independientes

Question

Supongamos que hay dos enunciados, $A$ y $B$ que son independientes. Hasta donde yo sé no es necesario demostrar $A$ o $B$ tampoco, basta con generar $C = A \land B$ y, a continuación, demostrar $C$ muestra $A$ y $B$ son ambas verdaderas. Si mi entendimiento es correcto, estamos prácticamente generalizando $A$ en la medida en que abarca $B$ o viceversa.

Elige, por ejemplo, $G =$ la conjetura de Goldbach, y $R =$ Conjetura de Riemann. Supongamos que son independientes. Supongamos que alguien genera $E = G \land R$ . ( $E$ sería una bonita expresión). ¿Prueba $E$ prueba $G$ y demuestra $R$ ¿También? A mí me parece contraintuitivo, pero -como profano en la materia- no puedo decirle por qué.

1. ¿Son mis pensamientos sobre $C$ ¿Mal?
2. Si no es así, ¿la prueba en $E$ se mantiene en los términos de probar tanto $G$ y $R$ ?

Pregunta extra: ¿sería una solución como ésta chocante para la comunidad matemática por varias (al menos dos) conjeturas importantes?

Answer 1

Las reglas de inferencia que comprenden el significado de lógico y son $$\begin{align}&A\\& B\\&\overline{A\land B}\end{align} $$ y $$\begin{align}&\underline{A\land B}\\& A\end{align} $$ y $$\begin{align}&\underline{A\land B}\\& B\end{align} $$ Así que sí, una prueba de $E$ produciría inmediatamente una prueba de $G$ y una prueba de $R$ .

Answer 2

Sí. Si podemos probar $A\land B$ entonces podemos demostrar $A$ y podemos demostrar $B$ .

Obsérvese que al suponer que $A$ y $B$ son independientes no puedes tener eso $C$ es demostrable, a menos que al menos una de ellas sea demostrable (y, en particular, no independiente).

Answer 3

Tus pensamientos sobre C no son erróneos. Por definición, A y B es verdadero cuando A es verdadero y B es verdadero.

Ahora, con respecto a tus pensamientos intuitivos. Es muy difícil dar con una expresión para A y B, que no sea A y B. Inténtalo. Sea A el teorema de Pitágoras, y B el Teorema Fundamental de la Aritmética. El problema de demostrar A y B, es que para hacerlo, normalmente se demuestra primero A, y luego B.

Por supuesto, hay otra manera. Lo que la gente hace a menudo es inventar una expresión C, tal que C implica A, y C implica B. Luego tratan de demostrar C. Eso sí, esto no es fácil.

Como otro punto. Consideremos la conjetura de Goldbach, y cómo es probable que se demuestre. Quiero decir, ha estado aquí durante mucho tiempo, y la gente ha estado en ello. La gente ha hecho "progresos", tal vez. Bueno, ¿cuáles son estos progresos?

Uno de estos avances sería la prueba de algo que podría ayudar a demostrar la conjetura de GoldBach. ¿Qué significa eso? Bueno, básicamente, algunos matemáticos adivinaron que D y E y algunos otros hechos juntos implican la conjetura de GoldBach. Eso sí, es una suposición. Y los matemáticos no saben cuáles podrían ser esos otros hechos. Pero aún así, demuestran D. Así que, si adivinaron bien, entonces demostraron una parte de las cosas necesarias para demostrar la conjetura de GoldBach.

Para tu pregunta extra. La respuesta es sí. Si A y B son dos teoremas principales, sería muy difícil expresar A y B como algo distinto de A y B.

Answer 4

Por ejemplo:

Sea $x,y \in \mathbb{R}$ y $A$ denotan $x = 0$ y $B$ sea $y = 0$ . Ahora, considere $C$ como

$$x^2 + y^2 = 0.$$

Si demuestra $C$ entonces has probado $x = 0$ y $y = 0$ es decir $A$ y $B$ . Sin embargo, demostrar $\neg C$ es decir $x^2 + y^2 \neq 0$ sólo demuestra $\neg A \lor \neg B$ es decir $x \neq 0$ o $y \neq 0$ .

Dudo que sorprenda a nadie, pero espero que aún así pueda serle útil ;-)