Círculos que se cruzan por pares en el plano

Question

Si estoy viendo una colección $\mathcal{C}$ de círculos $\{C_1,...,C_n\}$ todos los cuales tienen algunos radios $\{r_1,...,r_n\}$ donde $r_i\in\mathbb{R}^{+}$ para cada $i \in[n]$ . En $\mathcal{C}$ Todos los círculos se cruzan por pares, es decir, cada círculo se cruza con otro. No permitimos que se toquen (es decir, los círculos sólo se tocan en un único punto). Obsérvese que en estas disposiciones tampoco se permiten caras delimitadas por dos arcos y dos puntos de intersección.

Definimos un $3$ -en esta colección de círculos como una célula limitada por tres arcos y tres puntos de intersección de los círculos. Además, una $3$ -célula es un $3$ -celda tal que ningún círculo la atraviese.

Intento demostrar o refutar lo siguiente: cada círculo $C_i\in\mathcal{C}$ limita al menos dos vacíos $3$ -células para que una de ellas esté dentro de $C_i$ y uno de ellos en el exterior de $C_i$ .

Tengo las siguientes ideas: arreglar $C_i$ y darle una dirección determinada y dividir los puntos de intersección de $C_i$ con otros círculos en dos conjuntos: $\{p_1,...,p_{n-1}\}$ siendo las primeras intersecciones de $C_i$ con $C_j$ para $i\neq j$ y $\{q_1,...,q_{n-1}\}$ que es el conjunto de las segundas intersecciones de este tipo.

Ahora, parece que cualquier conjunto de tres círculos crea exactamente $7$ $3$ -células, sin embargo, en todo el $\mathcal{C}$ estos no están necesariamente vacíos, y este es el problema. Por lo tanto, en conjunto, hay un total de $7\cdot \binom{n}{3}$ $3$ -células.

Otra cosa que merece la pena observar es cómo se comportan los círculos en el lado interior y exterior del fijo $C_i$ según el orden de intersección con $C_i$ pero no sé muy bien cómo seguir.

Quizás

Answer 1

En primer lugar, basta con demostrar que siempre hay una celda vacía de 3 dentro de cada círculo. Esto se debe a que siempre podemos hacer una transformación de Möbius para mover el exterior de un círculo dentro de él, lo que preservará las intersecciones entre círculos. Entonces se puede utilizar el mismo argumento.

Ahora escoge algún círculo $C$ . En primer lugar, debe existir $C_i$ y $C_j$ que forman una celda 3 vacía en $C$ Llámalo $T$ . Si no fuera así, ningún par de los otros círculos podría intersecarse dentro de $C$ . Pero entonces habría una cara delimitada por dos arcos en $C$ .

A continuación, considere lo que sucede al dibujar otro círculo, digamos $C_k$ . Si se cruza con $T$ a 0 o 1 puntos, $T$ sigue siendo de 3 celdas. Si interseca dos aristas diferentes de $T$ se obtiene una célula 3 más pequeña dentro de $T$ . Si interseca una arista de $T$ dos veces, entonces por la suposición de que ninguna cara está limitada por dos arcos, debe haber otro círculo $C_\ell$ para que $\{C_i,C_j,C_k,C_\ell\}$ contienen una celda 3 en su interior $T$ . Repitiendo este argumento hasta que nos quedemos sin círculos, encontraremos que hay alguna célula vacía de 3.