¿Existe alguna forma sencilla de integrar una función en trippel cuando la región es una pirámide?

Question

Mi tarea es ésta;

Calcula: $$\iiint\limits_{A} \left(3y^2 - 3z\right)dA.$$

En $A$ es la región contenida dentro de los planos de coordenadas y el plano $P :3x + 2y - z = 6.$

Mi trabajo hasta ahora:

Poniendo a cero diferentes variables obtenemos que el $P$ interseca el eje de coordenadas en $x = 2, y = 3, z = -6$ . De los hechos expuestos podemos deducir que $A$ debe ser una pirámide con una base de tres lados. Como nota al margen, el volumen de esto es $\frac{bh}{3} = \frac{(2*3*0.5)*6}{3} = 6$ . He configurado este de la siguiente manera: $$\int\limits_0^2\int\limits_0^3\int_P^0 \left(3y^2 - 3z\right)dzdydx.$$

Pero esto se complica rápidamente, y como es una de mis tareas, espero encontrar un método abreviado. Cualquier ayuda sería de valor y no calcularlo como yo tendría el placer de hacerlo yo mismo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Como conoces el volumen, sólo necesitas el valor medio del integrando, y para ello basta con saber que los valores de las coordenadas se ponderan cuadráticamente con la distancia a su valor máximo. Así, la media de $y^2$ es

$$ 3^2\cdot\frac{\int_0^1(1-\xi)^2\xi^2\mathrm d\xi}{\int_0^1\xi^2\mathrm d\xi} $$

y la media de $z$ es

$$ -6\cdot\frac{\int_0^1(1-\zeta)\zeta^2\mathrm d\zeta}{\int_0^1\zeta^2\mathrm d\zeta}\;. $$