Que las familias de grupos interesantes fórmulas para el número de elementos de orden dado?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo y que $n$ es un número entero positivo de buceo de la orden de $G$. Deje $f_n(G)$ el número de elementos de satisfacciones $x^n = 1$$G$. De acuerdo con un teorema de Frobenius, entonces tenemos $f_n(G) \equiv 0 \mod{n}$. Por lo tanto, si tenemos una familia de grupos y una fórmula para el número de soluciones a $x^n = 1$, una aplicación del teorema de Frobenius demuestra que la fórmula es $\equiv 0 \mod{n}$.

Una familia de grupos donde podemos encontrar una fórmula es la simétrica y la alternancia de los grupos, puesto que el orden de una permutación es determinado por la estructura del ciclo. Por ejemplo, supongamos $p$ ser un primer número y $n \geq p$ algunos entero. A continuación, el número de elementos de satisfacciones $x^p = 1$ $S_n$ es

$$\sum_{k = 1}^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor} \frac{n!}{p^k (n-pk)! k!} + 1 \equiv 0 \mod{p}$$

por el teorema de Frobenius. No parece obvio sin el teorema de Frobenius que la suma de la izquierda debería ser $\equiv -1 \mod{p}$. También, observe que $n = p$ nos da del teorema de Wilson: $$(p-1)! \equiv -1 \mod{p}$$

Más congruencias se puede encontrar mediante el cálculo del número de elementos de un poco de orden en los grupos simétricos $S_n$ y la alternancia de los grupos de $A_n$.

Mi pregunta es la siguiente:

Además de $S_n$$A_n$, por lo que otras familias de grupos finitos podemos encontrar congruencias, como el anterior, aplicando el teorema de Frobenius?

Por supuesto, si usted se siente como que hay un notable/interesante/útil congruencia en $S_n$ a encontrarse con el teorema de Frobenius, siéntase libre de responder o comentar con los mismos.

Answer 1

Podemos combinar esto con otro teorema de Frobenius he usado recientemente para resultados interesantes.

Teorema. (Frobenius-Schur) Si $t$ es el número de involuciones en $G$, $$1+t=\sum_{\chi\in\text{Irr}(G)}a_\chi\chi(1)$$ where $a_\chi=0$ if $\chi\= \overline{\chi}$ and $a_\chi=\pm 1$ otherwise. Furthermore, $\chi$ is afforded by a real representation if and only if $a_\chi=1$.

En los enlaces de la pregunta, por ejemplo, he usado esto para acotar el número de involuciones de la generalizada diedro grupos de compuestos orden por contar expresamente. Usted puede utilizar esta técnica para calcular $f_2(G)$ para cualquier grupo con una fácil configuración de carácter grados.

Vamos a calcular $f_2(G)$ $G=\text{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ donde $q$ es impar. Deje $\mathcal{i}$ ser una involución. A continuación, cada autovalor de a $\mathcal{i}$ $1$ o $-1$. Denota la multiplicidad de $-1$ en esta matriz diagonal por $k$ (y por tanto la multiplicidad de $1$$n-k$), luego tenemos $$C_G(\mathcal{i})\cong \text{GL}_{n-k}(\mathbb{F}_q)\times \text{GL}_{k}(\mathbb{F}_q).$$ We know that $$|\text{GL}_d(\mathbb{F}_q)|=\prod_{m=0}^{d-1}\left(q^d-q^m\right),$$ así que podemos utilizar para calcular el tamaño de cada clase conjugacy de involuciones: $$ \begin{eqnarray*}[G:C_G(\mathcal{i})]&=&\frac{|\text{GL}_n(\mathbb{F}_q)|}{|\text{GL}_{n-k}(\mathbb{F}_q)\times \text{GL}_{k}(\mathbb{F}_q)|}\\ &=&\frac{\prod_{m=0}^{n-1}\left(q^n-q^m\right)}{\prod_{m=0}^{n-k-1}\left(q^{n-k}-q^{m}\right)\prod_{m=0}^{k-1}\left(q^{k}-q^m\right)}\\ &=&q^{k(n-k)}\left(\frac{\prod_{m=1}^n(q^m-1)}{\prod_{m=1}^{k}(q^m-1)\prod_{m=1}^{n-k}(q^m-1)}\right)\\ &=&q^{k(n-k)}{n \choose k}_q,\end{eqnarray*}$$ donde ${n \choose k}_q$ $q$-binomial. Hay al menos una involución con $k=m$ $m=1$ $n$(es decir, la matriz diagonal con que muchos de los $-1$s), por ello la suma de cada clase conjugacy de involuciones, nos encontramos con $$\sum_{k=1}^nq^{k(n-k)}{n \choose k}_q=-1+\sum_{\chi\in \text{Irr}(\text{GL}_n(\mathbb{F}_q))}\chi(1)=-1+f_2(\text{GL}_n(\mathbb{F}_q)).$$ Este es un apreciablemente la fórmula interesante para $f_2(GL_n(\mathbb{F}_q))$, y además, por el teorema de Frobenius de la OP proporciona, una prolija prueba de que $\sum_{k=0}^nq^{k(n-k)}{n \choose k}_q$ es siempre igual.