Proporción esperada de observaciones distintas en el muestreo $N$ observaciones con sustitución

Question

En los problemas de remuestreo, por ejemplo el bootstrapping, hay que muestrear $N$ observaciones con reemplazo, a partir de un conjunto original que contiene $N$ observaciones. Como resultado, algunas de las observaciones de la nueva muestra estarán duplicadas. Recuerdo vagamente que la proporción esperada de observaciones distintas en la nueva muestra es $1-e^{-1}$ cuando $N$ es grande. ¿Es ésta la respuesta correcta?

Ejemplo : El conjunto original es (1, 2, 3, 4, 5). La nueva muestra es (4, 1, 2, 1, 4). En este caso, la proporción de observaciones distintas en la nueva muestra es de 3/5.

Answer 1

Lo es. La probabilidad de que no se haya incluido la observación es $(1 - \frac{1}{N})^N$ que va a $\frac{1}{e}$ como $N \to \infty$ por lo que la nueva muestra incluirá aproximadamente $N \cdot (1 - \frac{1}{e})$ observaciones.