¿Cómo puedo evitar la solución errónea al elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación?

Question

Tenemos la ecuación, $\sqrt{x^2-1}=x-3$

Entonces, elevando al cuadrado ambos lados obtenemos, $x^2-1=x^2+9-6x$

Lo que da, $x=\frac{5}{3}$

Sin embargo, al verificar la solución uno se da cuenta inmediatamente de que se trata de una solución falsa. Estas ecuaciones son incoherentes entre sí.

Ahora me doy cuenta de ello:

1. O bien la forma en que estoy elevando ambos lados al cuadrado es incorrecta, es decir, tenemos que asumir algunas condiciones adicionales al elevar ambos lados al cuadrado de forma similar a cuando dividimos por una variable asumimos que no es igual a $0$ es decir, de $ax=0$ nosotros no $a=0$ sino que obtenemos $x\neq0\Rightarrow a=0$ . Pero, entonces no conozco esas condiciones.

2. O estoy obteniendo un resultado correcto porque asumí que un conjunto inconsistente de ecuaciones tiene solución, lo cual es bastante similar a cuando intentamos resolver un par de ecuaciones lineales inconsistentes en dos variables y obtenemos un resultado contradictorio. La única diferencia es que en este último caso nos damos cuenta inmediatamente de la contradicción porque obtenemos resultados como ' $0=2$ ', pero aquí nos damos cuenta de la contradicción sólo después de comprobarlo. Esto crea un problema mayor porque me dice que, después de resolver cualquier conjunto de ecuaciones, debo verificar la solución, cosa que, me temo, casi nunca hago.

Entonces, ¿es correcto mi método de elevar al cuadrado ambos lados y debería verificar todos/algunos conjuntos específicos de ecuaciones que resuelvo, o hay algunas condiciones que estoy pasando por alto al elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación? Si existen tales condiciones, ¿cuáles son?

Answer 1

Tenemos la ecuación $\sqrt{x^2-1}=x-3.\tag1$

El es un ecuación incoherente Eso es, no tiene solución .

elevando ambos lados al cuadrado se obtiene $x=\frac53.\tag2$ esta es una solución falsa.

Se trata de un solución externa de la ecuación $(1).$

1. O la forma en que estoy cuadrando ambos lados está mal

No, ese paso de cuadrar era perfectamente válido: $$\forall x{\in}\mathbb R\; \Big((1){\implies}(2)\Big).$$

2. O estoy obteniendo un resultado correcto, porque había obtenido un resultado contradictorio al suponer que un conjunto incoherente de ecuaciones tiene solución

Sí. Aquí En el documento explosión deductiva .

Esto crea un problema mayor porque me dice que después de resolver cualquier conjunto de ecuaciones, debo verificar la solución, cosa que temo decir que casi nunca hago.

Es natural resolver una ecuación dada (llamémosla A) razonando que si A, entonces B, entonces C, entonces D, donde D (por ejemplo, $x=-3,7$ ) contiene las soluciones. Pero, en realidad, D sólo contiene las soluciones para candidatos y, en este enfoque, la ecuación A técnicamente no se resuelve hasta que se verifican las soluciones candidatas. Me explayé sobre este tema en esta respuesta que contiene consejos para reconocer cuándo y cómo pueden surgir soluciones extrañas.

Alternativamente, para evitar soluciones extrañas al resolver una ecuación, podríamos asegurarnos cuidadosamente de que cada paso es reversible (pero este método probablemente no merezca la pena enseñarlo en clase), así: \begin{align}\forall x\in\mathbb R \Bigg[\quad\quad\quad&\sqrt{x^2-1}=x-3\\\iff {}& x^2-1=(x-3)^2 \quad\text{and}\quad x-3\ge0 \\\iff {}&x\in\emptyset\quad\Bigg].\end{align}

Answer 2

Sé que ya tienes una solución satisfactoria, pero pensé en mencionar que si consideras el problema gráficamente, es fácil ver por qué no hay solución, y por qué elevar la ecuación al cuadrado crea una solución falsa.

El gráfico de $y=\sqrt{x^2-1}$ es la parte de una hipérbola rectangular situada únicamente en el primer cuadrante (ya que $x\geq3$ ), y ésta tiene una asíntota oblicua que es la recta $y=x$ . El gráfico de $y=x-3$ es paralela a esta asíntota, y se sitúa y por tanto permanece por debajo de la hipérbola para todos los valores positivos de $x$ . Por lo tanto, no hay solución.

Sin embargo, al elevar ambos lados al cuadrado, estamos resolviendo una ecuación adicional, a saber $$-\sqrt{x^2-1}=x-3$$ y aquí es donde viene la solución extraña - porque el LHS es la parte de la misma hipérbola en el cuarto cuadrante, con asíntota $y=-x$ y, por tanto, se cruzará con $y=x-3$ .

Answer 3

Nada nuevo aquí, pero más corto y (espero) más claro.

Es cierto que $$ \sqrt A = B \;\;\Longrightarrow\;\;A=B^2 $$ Pero esto dice que las soluciones de la ecuación de la izquierda son a subconjunto de la ecuación de la derecha. Dicho de otro modo, puede haber soluciones de la ecuación de la derecha que no sean soluciones de la de la izquierda; a menudo se denominan "soluciones extrañas". Si encuentras una solución de la ecuación de la derecha, no será necesariamente una solución de la de la izquierda; tienes que comprobarlo por sustitución.

Answer 4

Comprender la pauta general: el razonamiento ecuacional puede ocultar la estructura lógica subyacente

Este tipo de razonamiento ecuacional es una herramienta útil cuando se aplica adecuadamente, pero muchos exploradores se encuentran, como en esta pregunta, confundidos sobre cómo asegurarse realmente de que están realizando un razonamiento válido: "Sólo hice manipulaciones ecuacionales válidas que siempre funcionaron antes, ¿qué salió mal?".

En concreto, el razonamiento ecuacional popular consiste en escribir ecuaciones y sus manipulaciones sin rastrear las líneas de implicación entre ellos . Pero hay un importante cambio de perspectiva que transforma esta herramienta de confusa en cristalina: ¡basta con ver la estructura lógica implícita en sus ecuaciones!

Algunas observaciones generales

¿Qué es una "solución"?

Ser solución de una ecuación es implicar la ecuación (por ejemplo $x = 1 \implies x^2 = 1$ y $x=-1 \implies x^2 = 1$ ).

Obsérvese que lo contrario no es necesariamente cierto: si una ecuación tiene varias soluciones, sólo implica que uno u otro solución es cierta. No implica cada uno individualmente (a menos que la solución sea única).

$$x=1 \implies x^2 = 1$$ $$x^2 = 1 \;\not\!\!\!\!\implies x=1$$

Pero podemos decir que una ecuación implica la disyunción (o) de todas sus soluciones, y viceversa

$$x^2 = 1 \iff (x = 1) \lor (x = -1) $$ (léase x = 1 O x = -1).

Así que podemos ver que hay una diferencia entre 'encontrar a solución" y "encontrar el solución" y "encontrar tous soluciones" (también conocido como "resolver"), aunque en el lenguaje natural a veces nos confundimos.

¿Qué es una manipulación ecuacional?

Aplicando una función a ambos lados de una ecuación se obtiene una ecuación válida implicación de la ecuación, pero el implicación inversa no es necesariamente válida. En términos lógicos, tenemos el esquema

$$a = b \implies f(a) = f(b)$$

para cualquier expresión $a, b$ y función/fórmula $f$ .

Ahora, si existe un inverso $f^{-1}$ de $f$ (por ejemplo, si $f$ es una suma o una resta) entonces do tienen la implicación en el otro sentido porque (por el esquema)

$$f(a) = f(b) \implies f^{-1}(f(a)) = f^{-1}(f(b))$$

y este último es el mismo que $a = b$ por la relación inversa de $f$ y $f^{-1}$ .

Pero si ese inverso no existe, no tenemos la implicación inversa.

Cuadrando

En el caso de elevar al cuadrado ecuaciones, $f$ tiene $f(a) = a^2$ . Esta función es no invertible en general (aunque lo es si ya sabemos $a > 0$ ).

Otros casos comunes

• La suma y la resta siempre tienen inversos.
• La división (por distinto de cero) siempre tiene una inversa. Si dividimos por algo que puede sea cero, podríamos sacar conclusiones no válidas.
• La multiplicación (por distinto de cero) siempre tiene una inversa. Si multiplicamos por algo que puede sea cero, puede que no sea invertible y tengamos que comprobarlo (o afirmar que no es cero).
• La exponenciación siempre tiene una inversa.
• Logaritmo (de distinto de cero) siempre tiene un inverso.

Su caso

1. $\sqrt{x^2 - 1} = x - 3$
2. $x^2 - 1 = x^2 + 9 - 6x$
3. $x = \frac 5 3$

Ahora ciertamente 3 $\implies$ 2. Así que 3 es una solución a 2.

Pero como hemos señalado, la cuadratura no es invertible. Así que aunque 1 (nuestro objetivo) $\implies$ 2, nosotros no tienen la inversa .

Podemos escribir (abusando un poco de la notación)

1 $\implies$ 2 $\impliedby$ 3. Pero para que 3 sea una solución de 1, necesitamos 3 $\implies$ 1, que no tenemos.

Soluciones para los candidatos

En general, a menudo podemos realizar no invertible transformaciones (como tu cuadrado) para manipular hechos que conocemos (como tu ecuación objetivo) en otros hechos que podemos deducir. Si esos otros hechos están en formas familiares o fáciles (como su cuadrática agradable) puede ser un generador útil de soluciones para candidatos que de otro modo no habríamos encontrado.

Pero a menos que tengamos la implicación hacia atrás desde la solución candidata a la ecuación objetivo, no tenemos una solución. Así que he aquí una regla general (que, lo que es importante, ¡siempre funciona!):

Si las líneas de implicación entre sus ecuaciones no señalan todo el camino desde la "solución" hasta el objetivo, tiene una candidato 'solución' y hay que comprobarlo. En el razonamiento ecuacional, esto ocurre cada vez que se aplica una transformación no invertible.

Answer 5

He aquí una respuesta a un nivel inferior.

Pregunta: ¿Cómo puedo evitar la solución errónea al elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación?

Contesta: Después de resolver la ecuación de la forma habitual, comprueba cada solución para ver cuáles se ajustan a la ecuación original.

Si también quiere saber de dónde procede una solución errónea, busque la primera línea de su trabajo en la que la solución se adapta a . Verá que, en ese paso, eliminó alguna restricción sobre $x$ permitiendo que se "cuele" la solución equivocada.

EJEMPLO:

$\sqrt{x^2-1}=x-3$
$x^2-1=x^2-6x+9$
$6x=10$
$x=\frac{5}{3}$ ?

Introdúzcalo en la ecuación original: no encaja. Así que no es una solución. (Así que la ecuación original no tiene solución).

OK, pero ¿dónde $x=\frac{5}{3}$ ¿De dónde viene?

Veamos, la primera línea de mi trabajo donde $x=\frac{5}{3}$ se ajusta, es la Línea 2 ( $x^2-1=x^2-6x+9$ ).

Así que en ese paso, debo haber eliminado alguna restricción sobre $x$ .

Ah, sí: en la línea 1 ( $\sqrt{x^2-1}=x-3$ ), necesitamos $x^2-1\ge0$ pero esta restricción no existe en la línea 2.

Para que vea cómo $x=\frac{3}{5}$ se coló, en la Línea 2.