Sobre la integración de Lebesgue

Question

Cómo demostrar que esta función $$|\phi(x)|\left(2a+b(|u(x)|+|\phi(x)|)^{p-1}+b|u(x)|^{p-1}\right)$$ está en $L^{1}(\Omega)$ donde $u,\phi\in L^{p}(\Omega)$ , $\Omega \subset \Bbb{R^{n}}$ sea un conjunto abierto acotado, a,b sean constantes?

Answer 1

Supongo $p>1$ . Desde $(x+y)^p\leqslant 2^{p-1}(|x|^p+|y|^p)$ y $L^p(\Omega)\subset L^1(\Omega)$ sólo tenemos que demostrar que $|\phi|\cdot |u|^{p-1}$ es integrable. Esto es una consecuencia de la desigualdad de Hölder.