(1) Tu desigualdad es correcta, podemos demostrarla dividiendo algunos casos. Primero:
$\min\{1,|x^*(x_n)-y^* (x_n)|\}=\min\{1,|x^*(x_n)-z^*(x_n)+z^*(x_n)-y^* (x_n)|\}\le\min\{1,|x^*(x_n)-z^*(x_n)|+|z^*(x_n)-y^* (x_n)|\}$ .
Ahora bien $\min\{1,|x^*(x_n)-z^*(x_n)|+|z^*(x_n)-y^* (x_n)|\}=1$ entonces:
$\min\{1,|x^*(x_n)-z^*(x_n)|+|z^*(x_n)-y^* (x_n)|\}\le \min\{1,|x^*(x_n)-z^*(x_n)|\}+\min\{1,|z^*(x_n)-y^* (x_n)|\}$
de hecho si a la derecha hay al menos un $1$ hemos terminado, de lo contrario a la derecha hay $|x^*(x_n)-z^*(x_n)|+|z^*(x_n)-y^* (x_n)|$ que por hipótesis es mayor o igual que $1$ .
Por otra parte, si $\min\{1,|x^*(x_n)-z^*(x_n)|+|z^*(x_n)-y^* (x_n)|\}=|x^*(x_n)-z^*(x_n)|+|z^*(x_n)-y^* (x_n)|$ entonces $|x^*(x_n)-z^*(x_n)|$ y $|z^*(x_n)-y^* (x_n)|$ son ambos $\le1$ por lo que la desigualdad se verifica de nuevo (con $=$ ).
(2) Denotemos por $\tau_d$ la topología dada por la distancia $d$ en $B_{X^*}$ y que $\rho$ sea la topología dada por las vecindades de la forma $V_\epsilon\{x^*_0;x_1,\dots,x_N\}$ . Llamemos $B(x^*,r)$ una pelota en la distancia $d$ con centro $x^*$ y radio $r$ .
Primero: abrir conjuntos de $\tau_d$ son conjuntos abiertos de $\rho$ . De hecho coge una pelota $B(x^*_0,r)$ para $x^*,y^*\in V_\epsilon\{x^*_0;x_1,\dots,x_N\}$ con $\epsilon<1$ ya que $|x^*(x_n)-y^*(x_n)|\le 2$ tenemos
$d(x^*,y^*)\le\epsilon\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2^n} +\sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{1}{2^{n-1}}$
es decir $<r$ si $N$ se elige suficientemente grande y $\epsilon$ se elige suficientemente pequeño.
Segundo: los mapas de evaluación $J_k:f\mapsto f(x_k)$ son continuas con respecto a la topología $\tau_d$ . De hecho $U\subseteq \mathbb{R}$ abrir y tomar la preimagen $J_k^{-1}(U)\ni f$ asumir $(f(x_k)-\delta,f(x_k)+\delta)\subseteq U$ . Si $g\in B(f,r)$ entonces
$|f(x_k)-g(x_k)|=\min\{1,|f(x_k)-g(x_k)|\}< r 2^k$
es decir $<\delta$ para $r$ suficientemente pequeño. Por lo tanto $J_k^{-1}(U)$ está abierto, y $J_k$ es continua en la topología $\tau_d$ .
Tercero: si $x\in X$ los mapas de evaluación $J_x:f\mapsto f(x)$ son continuas con respecto a la topología $\tau_d$ . De hecho $U\subseteq \mathbb{R}$ abrir y tomar la preimagen $J_x^{-1}(U)\ni f$ asumir $(f(x)-\delta,f(x)+\delta)\subseteq U$ . Por densidad, existe una secuencia $x_k\to x$ en $X$ y, por tanto $f(x_k)\to f(x)$ tomar $\bar{k}$ tal que $f(x_{\bar{k}})\in(f(x)-\delta/4,f(x)+\delta/4)$ y $||x-x_{\bar{k}}||_{X}<\delta/4$ . Por el cálculo del segundo punto existe una bola $B(f,r)$ tal que para todo $g\in B(f,r)$ tenemos $g(x_{\bar{k}})\in(f(x_{\bar{k}})-\delta/4,f(x_{\bar{k}})+\delta/4)$ Además $|g(x)-g(x_{\bar{k}})|\le ||g||_{X^*}||x-x_{\bar{k}}||_{X}<\delta/4$ . Finalmente para todos $g\in B(f,r)$ :
$|g(x)-f(x)|\le |g(x)-g(x_{\bar{k}})| + |g(x_{\bar{k}})-f(x_{\bar{k}})|+|f(x_{\bar{k}} -f(x)|<3\delta/4$
Por lo tanto $J_x^{-1}(U)$ está abierto, y $J_x$ es continua en la topología $\tau_d$ .
Cuatro: topología $\rho$ está contenida en la topología débil $\tau$ . De hecho, un barrio genérico en $\tau$ es
$W_\eta\{x_0^*;y_1,\dots,y_M\}=\{x^*: |x^*_0(y_i)-x^*(y_i)|<\eta, i=1,\dots,M \}$
Si $N$ es suficientemente grande, para todos $i=1,\dots,M$ hay $j_i\in\{1,\dots,N\}$ tal que $||x_{j_i}-y_i||_X<\eta/4$ . Así que si $x^*\in V_{\eta/2}\{x^*_0;x_1,\dots,x_N\}$ entonces
$|(x^*-x^*_0)(y_i)|\le ||x^*-x^*_0||_{X^*}||y_i-x_{j_i}||_X+|(x^*-x^*_0)(x_{j_i})|<\eta$
Por lo tanto $V_{\eta/2}\{x^*_0;x_1,\dots,x_N\}\subseteq W_\eta\{x_0^*;y_1,\dots,y_M\}$ y así $\rho\subseteq\tau$ .
Cinco: Por definición, la topología débil* es la topología más gruesa para la que los mapas de evaluación son continuos; puesto que $\tau_d\subseteq \rho\subseteq\tau$ entonces $\tau_d=\rho=\tau$ y tenemos la tesis.
(3) Este teorema es muy importante, de hecho con una topología metrizable, en particular tenemos una primera topología contable. En esta configuración un conjunto es cerrado si y sólo si es secuencialmente cerrado; y un conjunto compacto es secuencialmente compacto. En particular, puesto que por Banach-Alaoglu $B_{X^*}$ es débilmente* compacta, en este caso la bola también es secuencialmente compacta, una propiedad que a menudo resulta muy útil.
