Aumento relativo del volumen de $\delta$ -de un conjunto conexo

Question

La siguiente pregunta se formuló hace muy poco en Aumento relativo del volumen de δ-engrosamiento de un conjunto compacto : ¿Es cierta la siguiente desigualdad para todos los conjuntos compactos no vacíos $A \subseteq \mathbb{R}^n$ y todos los reales $\delta>0$ : $$\mu(A_\delta)\le \left(1+\delta\,\frac{\lambda(\partial A)}{n\,\mu(A)}\right)^n\mu(A)\tag1,$$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}^n$ , $A_\delta$ es el $\delta$ -engorde de $A$ y $$\lambda(\partial A)=\liminf_{\delta\downarrow 0}\delta^{-1}(\mu(A_\delta)-\mu(A))?$$

Se ha respondido a esta pregunta demostrando que, en general, esto es falso. El OP preguntó entonces si la desigualdad (1) puede salvarse (i) suponiendo que el conjunto $A$ está conectado y/o (ii) sustituyendo $\lambda(\partial A)$ por $c\lambda(\partial A)$ para alguna constante real $c>1$ .

Answer 1

La respuesta a esta pregunta adicional sigue siendo negativa: la desigualdad (1) no puede salvarse ni siquiera (i) suponiendo que el conjunto $A$ está conectado y simultáneamente (ii) sustituir $\lambda(\partial A)$ por $c\lambda(\partial A)$ para cualquier constante real $c>1$ .

En efecto, dejemos que $n=3$ . Es fácil ver (digamos, proyectando una parte suficientemente pequeña de la esfera unidad $S^2$ en $\mathbb{R}^3$ en un plano apropiado) que existe una constante real universal $b>0$ tal que para cada real $\delta>0$ existe $N(\delta)> b/\delta^2$ puntos distintos $x_1,\dots,x_{N(\delta)}$ en $S^2$ con todas las distancias por pares entre ellas $>2\delta$ . Sea $A=A(\delta)$ sea el "erizo", que es la unión de la bola unitaria $B$ en $\mathbb{R}^3$ y todos los segmentos $[x_1,2x_1],\dots,[x_{N(\delta)},2x_{N(\delta)}]$ . Claramente, $A$ es compacta y conexa.

Además, el volumen $\mu(A(\delta))=\mu(B)$ y la superficie $\lambda(\partial A(\delta))=\lambda(\partial B)$ no dependen de $\delta$ . Así, para cualquier $c>1$ tenemos $$\left(1+\delta\,\frac{c\lambda(\partial A(\delta))}{n\,\mu(A(\delta))}\right)^n\mu(A(\delta)) =\left(1+\delta\,\frac{c\lambda(\partial B}{n\,\mu(B)}\right)^n\mu(B)\to\mu(B)$$ como $\delta\downarrow 0$ .

Por otra parte, para alguna constante real universal $a>0$ y todo lo suficientemente pequeño $\delta>0$ tenemos $$\begin{equation*} \mu(A(\delta)_\delta)\ge\mu(B)+aN(\delta)\delta^2\ge\mu(B)+ab>\mu(B), \end{equation*}$$ para que $$\mu(A_\delta)>\left(1+\delta\,\frac{c\lambda(\partial A)}{n\,\mu(A)}\right)^n\mu(A)$$ para $A=A(\delta)$ y todo lo suficientemente pequeño $\delta>0$ .

Evidentemente, se puede hacer una construcción "erizo" similar para cualquier $n\ge2$ .