Norma de potencias de un ideal maximal (en anillos residualmente finitos)

Question

Sea $A$ sea un dominio integral residualmente finito y $M$ un ideal maximal en $A$ . ¿Es cierto que
$$|A/M^k|=|A/M|^k \quad (k\in\textbf{N}) \quad ?$$

En el artículo de Hirano Sobre anillos finitos residuales podemos leer en la página 11/14 (prueba de la proposición 4) un argumento trabajando en "orden Asano", y no tengo los antecedentes para entender esta prueba (no conozco la categoría y el producto tensorial todavía...).

¿Alguien puede ayudar con esto, o tiene una prueba más fácil / contra-ejemplo de este hecho?

(Este resultado no es cierto en un contexto más general, véase Norma de potencias de un ideal maximal .)

Muchas gracias y feliz año nuevo.

Answer 1

Muy parecido a las respuestas anteriores que obtuviste para un problema similar, te sugiero que intentes resolver el caso de $A=F[t^2,t^3]$ ( $F$ un campo finito, en cuyo caso $A$ es un dominio integral residualmente finito) y $M=(t^2,t^3)$ . Ya deberías tener problemas por $k=2$ .

Answer 2

Sea $A=\mathbb Z[\sqrt{-3}]$ .

El anillo $A$ es residualmente finito ya que cada ideal distinto de cero $I$ contiene un número entero distinto de cero (si $a+b\sqrt{-3}\in I$ entonces $n=a^2+3b^2\in I\cap\mathbb Z$ ), por lo que $A/I\simeq \frac{A/nA}{I/nA}$ y $A/nA$ es finito.

Establecer $M=(1+\sqrt{-3},1-\sqrt{-3})$ . Tenemos $N(M)=2$ , $M^2=(2)M$ Por lo tanto $N(M^k)=2^{2k-1}$ para todos $k\ge1$ . (Aquí $N(I)=|A/I|$ para $I$ un ideal distinto de cero).

Observación. El análogo conmutativo del Asano ordena son dominios Dedekind, y para dominios Dedekind residualmente finitos tenemos $N(IJ)=N(I)N(J)$ . Por eso he elegido $\mathbb Z[\sqrt{−3}]$ y no, por ejemplo, $\mathbb Z[\sqrt{−5}]$ .

Sea $A$ sea un dominio Dedekind residualmente finito, y $I,J$ ideales. Entonces $N(IJ)=N(I)N(J)$ .

La prueba se reduce fácilmente (mediante CRT) a demostrar que $N(A/P^{m+n})=N(A/P^m)N(A/P^n)$ donde $P$ es un ideal primo distinto de cero. Pero $A/P^i\simeq A_P/P^iA_P$ , $A_P$ es un PID local, y entonces $N(A_P/P^iA_P)=N(A_P/PA_P)^i$ .