Teorema fundamental del cálculo sobre un punto de discontinuidad

Question

Sea $\mathbb{P}$ sea una probabilidad sobre los conjuntos Borel de $\mathbb{R}$ y que $X$ sea una variable aleatoria real con esta distribución. Consideremos que $m_{0}$ es un punto de discontinuidad de la función $\mathbb{P}(X\leq x)$ . Quiero calcular lo siguiente:

$$\cfrac{\partial}{\partial c}\left(\int_{-\infty}^{c}\mathbb{P}(X\leq t)dt\right) (m_{0})$$ .

Si tomamos $b < m_{0}$ sabemos que $\mathbb{P}(X\leq x)$ es continua y acotada en $(-\infty, b]$ entonces, aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos que $$\cfrac{\partial}{\partial c}\left(\int_{-\infty}^{c}\mathbb{P}(X\leq t)dt\right) (b) = \mathbb{P}(X\leq b)$$

Mi pregunta es si es correcto el siguiente cálculo:

$$\cfrac{\partial}{\partial c}\left(\int_{-\infty}^{c}\mathbb{P}(X\leq t)dt\right) (m_{0}) = \lim_{x\rightarrow m_{0}^{-}}\cfrac{\partial}{\partial c}\left(\int_{-\infty}^{c}\mathbb{P}(X\leq t)dt\right) (x) = \mathbb{P}(X < m_{0})$$

Como el integrando es continuo en $(-\infty,m_{0})$ y acotado, puede ayudar el teorema de convergencia dominada o algo así.

Gracias de antemano.

Answer 1

Pongamos un ejemplo sencillo: $\mathbb P(X=0)=1$

Entonces $\mathbb P(X\le t)=0$ cuando $t<0$ y $\mathbb P(X\le t)=1$ cuando $t \ge 0$ y la discontinuidad está en $t=0$

Así que $\int\limits_{-\infty}^{c}\mathbb{P}(X\leq t)\,dt = 0$ cuando $c \le 0$ y $\int\limits_{-\infty}^{c}\mathbb{P}(X\leq t)\,dt = c$ cuando $c \ge 0$ por lo que es continua

Así $\cfrac{\partial}{\partial c}\left(\int\limits_{-\infty}^{c}\mathbb{P}(X\leq t)\,dt\right) (b) =0$ cuando $b <0$ y $\cfrac{\partial}{\partial c}\left(\int\limits_{-\infty}^{c}\mathbb{P}(X\leq t)\,dt\right) (b) =1$ cuando $b >0$ y no se define cuando $b=0$ es decir, en el punto original de discontinuidad