La situación es más sencilla si se escribe $$ \vert j_1+j_2,j_1+j_2\rangle = \vert j_1j_1\rangle \vert j_2j_2\rangle \tag{1} $$ donde $\vert j_km_k\rangle$ es un estado de momento angular para la partícula $k$ . En esta notación el total operadores de momento angular como sumas $J_{x}=J_{1x}+J_{2x}$ etc donde $J_{1x}$ actúa sólo sobre los estados de la primera partícula, y $J_{2x}$ actúa sólo sobre los estados de la segunda partícula. Más formalmente, habría que tener $J_x=J_{1x}\otimes \hat 1 + \hat 1\otimes J_{2x}$ .
Así, los operadores de escalera son $J_\pm = J_{1\pm}+J_{2\pm}$ y se puede verificar que el estado en (1) es matado por $J_+$ y es un estado propio de $J_z$ con valor propio $j_1+j_2$ identificándolo (hasta una fase que se elige como +1) como $\vert jj\rangle$ con $j=j_1+j_2$ .
Para obtener el estado $\vert j_1+j_2,j_1+j_2-1\rangle $ escalera desde $\vert j_1+j_2,j_1+j_2\rangle$ : \begin{align} J_-\vert j_1+j_2,j_1+j_2\rangle &= \sqrt{2(j_1+j_2)}\vert j_1+j_2,j_1+j_2-1\rangle \\ &= \left[J_{1-}\vert j_1j_1\rangle\right]\vert j_2j_2\rangle + \vert j_1j_1\rangle \left[J_{2-}\vert j_2j_2\rangle\right]\, ,\\ &=\sqrt{2j_1}\vert j_1,j_1-1\rangle\vert j_2j_2\rangle +\sqrt{2j_2}\vert j_1j_1\rangle \vert j_2j_2-1\rangle \end{align} del que se desprenden sus expresiones.
Obsérvese que el estado (no normalizado) $\sqrt{2j_2}\vert j_1,j_1-1\rangle\vert j_2j_2\rangle - \sqrt{2j_1} \vert j_1j_1\rangle \vert j_2,j_2-1\rangle$ es asesinado por $J_+$ y un estado propio de $J_z$ con valor propio $j_1+j_2-1$ y, por tanto, debe ser proporcional al estado $\vert jj\rangle$ con $j=j_1+j_2-1$ .
