Contorno de Hueso de Perro Integral

Question

¿Podría alguien ayudarme a entender cómo integrar $$ \ \int_0^1 (x^2-1)^{-1/2}dx\, ? $$

Este es un problema de tarea del Análisis Complejo Básico de Marsden. El libro de texto sugería utilizar un contorno "hueso de perro" y encontrar el residuo de una rama de $(z^2-1)^{-1/2}$ en el infinito. Creo que el residuo en el infinito es 1.

Tras la factorización $$ \ (z^2-1)^{-1/2}\ = (z-1)^{-1/2}\ (z+1)^{-1/2}\ $$ Elegí una rama cortada de $(-\infty , -1] \;$ para $\;(z+1)^{-1/2}$ y $(-\infty , 1]$ para $(z-1)^{-1/2}$ . Estoy bastante seguro de que eso significa $\: -\pi \: <\arg(z-1)< \:\pi$ y $\: -\pi \: <\arg(z+1)< \:\pi$ .

Este problema es muy confuso. Llevo días trabajando en él y me está volviendo loco. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Elija los cortes de la rama como $(-\infty,-1]$ para $(z+1)^{-1/2}$ y $(-\infty,+1]$ para $(z-1)^{-1/2}$ .

Entonces, $f(z) =(z^2-1)^{-1/2}$ es continua a través del eje real negativo y el corte de rama "efectivo" es $[-1,+1]$ .

Integraremos $f$ en el contorno de las agujas del reloj $C$ que es el contorno en forma de "hueso de perro" que abarca $z=\pm 1$ . Para ello, tenemos

$$\begin{align} \oint_C f(z) dz &= \oint_C (z+1)^{-1/2} (z-1)^{-1/2} dz\\\\ &=\int_{-1}^1 \frac{dx}{+\sqrt{x^2-1}}\,dx+\int_{1}^{-1} \frac{dx}{-\sqrt{x^2-1}}\,dx\\\\ &=4\int_{0}^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}\,dx \end{align}$$

Obsérvese que utilizamos tácitamente el hecho de que las contribuciones a los "círculos" pequeños (es decir, en los extremos del contorno) alrededor de $z=\pm 1$ tienden a cero a medida que los radios de esos círculos se acercan a cero.

Ahora calculamos el residuo en el infinito (Nota: Esto es equivalente a evaluar la integral de $f$ en un contorno esférico de radio contrario a las agujas del reloj $R$ en el límite como $R \to \infty$ ). Esto viene dado por

$$\text{Res}_{z=\infty} f(z)=\text{Res}_{z=0} \left(-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)\right)=-1$$

Al juntarlo se obtiene

$$4\int_{0}^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}\,dx=-2\pi i(-1)$$

a partir de la cual tenemos

$$\int_{0}^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}\,dx=i\pi/2$$

Answer 2

Utilice la herramienta adecuada para la tarea adecuada. En este contexto, es mucho más fácil integrarse de la siguiente manera:

$$\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \underbrace{i\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = i\int_0^{\pi/2} \dfrac{\cos(t)dt}{\cos(t)}}_{x = \sin(t)} = \dfrac{i \pi}2$$