¿Es toda dg-coálgebra el colímite de sus dg-subcoálgebras de dimensión finita?

Question

Vi este resultado en Una estructura de categoría modelo para álgebras diferenciales graduadas por Getzler-Goerss, pero cuando la coalgebra es de gradación no negativa, ¿se cumple también esta propiedad cuando la coalgebra dg es $\mathbb{Z}$ -¿Calificado?

Gracias.

Answer 1

Para dg-coalgebras coasociativas sobre cualquier campo $k$ la respuesta es positiva, porque:

1. Sea $C$ ser un $\mathbb Z$ -y $D\subset C$ una subcoálgebra no graduada de dimensión finita (de la coalgebra no graduada subyacente) de $C$ . Sea $D^{gr}\subset C$ denota el subespacio vectorial graduado abarcado por todas las componentes graduadas de los elementos de $D$ . Entonces $D\subset D^{gr}$ y $D^{gr}$ es una subcoálgebra graduada de dimensión finita de $C$ .

2. Sea $(C,d)$ sea una dg-coálgebra y $D\subset C$ sea una subcoálgebra graduada de dimensión finita de $C$ . Establecer $D^{dg}=D+d(D)\subset C$ . Entonces $D\subset D^{dg}$ y $D^{dg}$ es una dg-subcoálgebra de dimensión finita de $C$ .

Utilizando las observaciones 1. y 2. y el hecho de que cualquier álgebra coasociativa no graduada es la unión de sus subálgebras de dimensión finita, se deduce la afirmación de que cualquier $\mathbb Z$ -es la unión de sus dg-subcoalgebras finito-dimensionales.

Posibles generalizaciones: Se puede sustituir un campo $k$ por un anillo conmutativo noetheriano $k$ y hablar de subcoálgebras finitamente generadas como $k$ -(en lugar de "finito-dimensional"). Todas las afirmaciones siguen siendo ciertas.

EDIT: Me he dado cuenta de que el párrafo anterior es problemático por la siguiente razón: dado un $k$ -submódulo $D$ es un $k$ -módulo $C$ el producto tensorial $D\otimes_k D$ no es un submódulo del producto tensorial $C\otimes_k C$ en general. Así que la propia noción de $k$ -para un anillo conmutativo $k$ es problemática, o al menos requiere un cuidado especial con los productos tensoriales no exactos. Así pues, me retracto del párrafo anterior.

No se puede renunciar a la condición de coasociabilidad. De hecho, incluso para coalgebras no graduadas sobre un campo de característica $0$ existe un ejemplo de álgebra de Lie de dimensión infinita $L$ que no tengan subcoálgebras finito-dimensionales no nulas. La álgebra de Lie $L$ se describe de la forma más sencilla en términos de su estructura dual de álgebra de Lie topológica (en un espacio vectorial topológico pro-finito-dimensional): $L^*=\mathfrak g=k[[z]]\,d/dz$ el álgebra de Lie de los campos vectoriales en el disco formal.