$$\begin{equation} \begin{split} \int\frac{2dx}{e^x+e^{-x}} & = \int\frac{2e^{-x}dx}{1+e^{-2x}} \\ &= \int 2e^{-x} \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^ke^{-2kx}\,dx \\ &= 2\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\int e^{-x(2k+1)}\,dx +c\\ &= -2\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{ e^{-x(2k+1)}}{(2k+1)}+c \end{split} \end{equation} $$ Tenga en cuenta que $\displaystyle \arctan(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$ , dando $$\begin{equation} \begin{split} \int\frac{2\,dx}{e^x+e^{-x}} & = -2\arctan(e^{-x})+c \end{split} \end{equation} $$ Wolfram dice que esta integral es $\displaystyle\arctan\left(\tanh(\frac{x}{2})\right)$$ \displaystyle=\arctan \left(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\right)=\arctan(1)+\arctan(-e^{-x})=\frac{\pi}{4}+\arctan(e^x)$
Entonces, ¿es $\displaystyle -2\arctan(e^{-x})=k+\arctan(e^x)$ (si es así, ¿por qué?), o ¿he hecho algo mal? Normalmente aplazaría el error (si es que lo hay) a mi descuido por la convergencia, pero los resultados son tan parecidos que creo que mi método debe ser fundamentalmente correcto.
