¿Dónde está el error en integrar $\operatorname{sech}$ utilizando series?

Question

$$\begin{equation} \begin{split} \int\frac{2dx}{e^x+e^{-x}} & = \int\frac{2e^{-x}dx}{1+e^{-2x}} \\ &= \int 2e^{-x} \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^ke^{-2kx}\,dx \\ &= 2\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\int e^{-x(2k+1)}\,dx +c\\ &= -2\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{ e^{-x(2k+1)}}{(2k+1)}+c \end{split} \end{equation}$$ Tenga en cuenta que $\displaystyle \arctan(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$ , dando $$\begin{equation} \begin{split} \int\frac{2\,dx}{e^x+e^{-x}} & = -2\arctan(e^{-x})+c \end{split} \end{equation}$$ Wolfram dice que esta integral es $\displaystyle\arctan\left(\tanh(\frac{x}{2})\right)$$\displaystyle=\arctan \left(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\right)=\arctan(1)+\arctan(-e^{-x})=\frac{\pi}{4}+\arctan(e^x)$

Entonces, ¿es $\displaystyle -2\arctan(e^{-x})=k+\arctan(e^x)$ (si es así, ¿por qué?), o ¿he hecho algo mal? Normalmente aplazaría el error (si es que lo hay) a mi descuido por la convergencia, pero los resultados son tan parecidos que creo que mi método debe ser fundamentalmente correcto.

Answer 1

Cometiste dos errores:

1/ Wolframalpha da un factor $2$ que te perdiste.

2/ Y esta es la versión correcta de la diferencia de $\arctan$ 's

$$\arctan \left(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\right)=\arctan(1)-\arctan(e^{-x})$$