Problema del invariante numérico: sustitución de dos números cualesquiera $a$ y $b$ con $a - 1$ y $b + 3$

Question

Los números 1, 2, 3, ..., 2014 están escritos en una pizarra. De vez en cuando alguien elige dos números $a$ y $b$ y los sustituye por $a - 1$ , $b + 3$ . ¿Es posible que en algún momento todos los números de la pizarra sean pares? ¿Pueden ser todos Impares?

No sé cómo utilizar los términos $a - 1$ y $b + 3$ para formar una invariante.

Answer 1

Pista: restando $1$ o añadiendo $3$ cambia la paridad de un número (es decir, pasa de impar a par o viceversa). Al hacer esto con dos números, el número de números Impares de la pizarra cambia en $-2$ , $0$ o $+2$ .

Answer 2

No es posible, ya que con cada sustitución, el número de números Impares se mantiene igual, aumenta en 2 o disminuye en 2. Como al principio hay un número impar de números Impares, siempre seguirá siendo impar, sobre todo nunca será 2014. El mismo argumento se aplica al número de números pares.

Answer 3

Sí, en algún momento todos los números del tablero pueden ser Impares (o pares). Las posibilidades para cada paso son las siguientes:

1. Borra dos números pares y escribe dos números Impares.
2. Borra dos números Impares, luego escribe dos números pares.
3. Borra un número par y un número impar, luego escribe un número impar y un número par.

Inicialmente hay $1007$ números pares y $1007$ impar números en el tablero. Repite el paso (1) hasta que todos los números menos uno sean Impares. A continuación, realiza el paso (3). Justo después de borrar $a$ y $b$ y antes de escribir $a-1$ y $b+3$ , todos los números del tablero son Impares (o pares).