Cociente del producto directo de grupos cíclicos

Question

Se me ocurre que lo siguiente es cierto: $$(\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m) / \mathbb{Z}_k \cong \mathbb{Z}_{n/k} \times \mathbb{Z}_m$$ cuando $k \mid n$ . Pero no veo la forma de demostrarlo.

La forma en que quiero usarlo es para mostrar $$(\mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_{20}) / \mathbb{Z}_2 \cong \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_{20}$$ Mi idea es empezar descomponiendo el producto directo de la siguiente manera: $$(\mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_{20}) / \mathbb{Z}_2 \cong (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_{20}) / \mathbb{Z}_2 \cong \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_{20}$$ Sin embargo, aún no estoy seguro de que el último paso sea siempre cierto, ¡y agradecería mucho que me ayudaras!

Answer 1

Resumiendo los comentarios; no es cierto en general. El ejemplo más sencillo es el cociente $$(\Bbb{Z}_4\times\Bbb{Z}_2)/\Bbb{Z}_2.$$ Entonces el tipo de isomorfismo del cociente depende de si se toma el cociente respecto al subgrupo $\Bbb{Z}_2\subset\Bbb{Z}_4$ del primer factor, o el subgrupo $\Bbb{Z}_2\subset\Bbb{Z}_2$ del segundo factor. E incluso hay un tercer subgrupo $\Bbb{Z}_2\subset\Bbb{Z}_4\times\Bbb{Z}_2$ que no figura en ninguno de los dos factores.