¿Podría alguien proporcionar detalles sobre cómo calcular los grupos fundamentales de las variedades reales y complejas de Grassmann y Stiefel?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Los grassmanianos son espacios homogéneos.
En el caso real, se tiene el Grassmaniano orientado $G^0(k,\mathbb{R}^n)$ de orientado $k$ -aviones en $\mathbb{R}^n$ es difeomorfo a $SO(n)/\left(SO(k)\times SO(n-k)\right)$ donde $SO(n)$ es la colección de $n\times n$ matrices ortogonales especiales.
Del mismo modo, el Grassmaniano no orientado $G(k,\mathbb{R}^n)$ de no orientados $k$ -aviones en $\mathbb{R}^n$ es difeomorfo a $SO(n)/S(O(k)\times O(n-k))$ .
Por último, el complejo Grassmaniano, $G(k,\mathbb{C}^n)$ es difeomorfo a $SU(n)/(SU(k)\times SU(n-k))$ donde $SU(n)$ denota el $n\times n$ matrices unitarias especiales.
(Pueden ser necesarias algunas ligeras modificaciones cuando $k=0$ o $k=n$ ).
Una vez escritos así, se tiene un teorema general según el cual dados grupos de Lie compactos $G$ y $H$ entonces $H\rightarrow G\rightarrow G/H$ es un haz de fibras. En particular, podemos utilizar la secuencia homotópica exacta larga.
Se deduce inmediatamente que el complejo grassmaniano es simplemente conexo porque $SU(n)$ es a la vez conexa y simplemente conexa.
En el caso real, hay que trabajar un poco más. Para el grassmaniano orientado, basta con observar que el mapa canónico $SO(k)\rightarrow SO(n)$ es una suryección sobre $\pi_1$ tan pronto como ambos $n$ y $k$ son mayores que 1, (isomorfismo cuando $n,k>2$ ) y es siempre un isomorfismo en $\pi_0$ . Así pues, el grassmaniano real orientado es simplemente conexo.
Esto también da la respuesta para el Grassmaniano real no orientado porque hay un doble recubrimiento natural $G^0(k,\mathbb{R}^n)\rightarrow G(k,\mathbb{R}^n)$ dada por el olvido de la orientación. Por lo tanto, el grassmaniano real no orientado tiene $\pi_1=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .
Alternativamente, observe que el mapa inducido de $S(O(k)\rightarrow O(n-k))$ a $SO(n)$ es un isomorfismo en $\pi_1$ pero que $S(O(k)\times O(n-k))$ tiene más de un componente.
