Sé que la fibra de $A_{g,n}$ en $\mathbf{F}_p$ es cuasi proyectiva (¿de qué dimensión?). ¿Se pueden exhibir en ella algunas subvariedades proyectivas lisas de alta dimensión? ¿Cuáles son las referencias de su geometría?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
andy kilby
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Sobre cualquier campo existen subvariedades completas de dimensión $g-1$ . Prueba: la compactificación Satake $A_g^S$ (que existe en $\mathbb Z$ por Faltings-Chai) tiene frontera de codimensión $g$ . Así que intersectando $A_g^S$ en alguna incrustación proyectiva, con un número apropiado de hiperplanos dará tales subvariedades de $A_g$ .
ScArcher2
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Permítanme comentar la respuesta de Felipe Voloch. El lugar supersingular (es decir, el lugar de $p$ -de rango cero) es completa: es una subvariedad cerrada de $\overline A_g$ (elegir una compactificación toroidal) porque la $p$ -es semicontinuo inferior, y no cumple el límite porque un toroide tiene semicontinuidad positiva. $p$ -rango. Además, tendrá de hecho la mayor dimensión posible de una subvariedad completa de $A_g$ (en característica positiva); su dimensión es $g(g-1)/2$ . En efecto, si existe una subvariedad completa de dimensión $d$ y $\eta$ es una clase divisora amplia, entonces $\eta^d \neq 0$ . Ahora $\lambda_1$ (1ª clase de Chern del haz de Hodge) es amplia y $\lambda_1^{1+g(g-1)/2}$ desaparece. Para ello véase
van der Geer, Gerard. Ciclos en el espacio de moduli de variedades abelianas. Moduli of curves and abelian varieties, 65--89, Aspects Math., E33, Vieweg, Braunschweig, 1999. MR1722539
En la característica cero no hay ninguna subvariedad completa de $A_g$ de esta dimensión. Por tanto, ¡la mayor dimensión de una subvariedad compacta depende de la característica!
Keel, Sean; Sadun, Lorenzo. Conjetura de Oort para $A_ g\otimes\Bbb C$ . J
