Mostrar que $\gcd\left(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b\right)=\gcd(n d^{n-1},a-b)$

Question

Cómo mostrar que

$$ \gcd\bigg( {a^n-b^n \over a-b} ,a-b\bigg )=\gcd(n d^{n-1},a-b ) $$ $a,b\in \mathbb Z$

donde $d=\gcd(a,b)$?

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Nota $\ $ Algunas de las respuestas que a continuación se fusionaron a partir de esta pregunta. Las respuestas (y sus comentarios) puede depender del contexto en esa pregunta.

Answer 1

${\rm mod}\ \color{#c00}{a\!-\!b}\!:\ c\, := a^{n-1}\!+a^{n-2}b+\cdots+\!b^{n-1}\!\equiv\!\overbrace{\color{#0a0}{n\,a^{n-1}}}^{\large {\rm by}\,\ \color{#c00}{b\,\equiv\, a}}\!\equiv\!\overbrace{\color{#0a0}{n\,b^{n-1}}}^{\large {\rm by}\,\ \color{#c00}{a\,\equiv\, b}}\!.\,$ $\rm\color{#90f}{FD}$ = Estudiante de Primer año del Sueño

$$\ \underbrace{(a\!-\!b,c)\, =\, (a\!-\!b,\color{#0a0}{na^{n-1},nb^{n-1}})}_{\Large (a-b,\,c)\,\ =\ \ (a-b,\ \ c\,\ {\rm mod}\,\ \color{#c00}{a-b})\ \ } \underset{\begin{align}\\[-2pt] \large{\rm by\ \, Euclid}\end{align}\qquad\qquad\qquad}{=\, (a\!-\!b,n(a^{n-1},b^{n-1}))} \overset{\color{#90f}{\rm FD}}= (a\!-\!b,n(a,b)^{n-1})\ \ \ {\bf QED}\quad $$

Answer 2

Poner a $c=a-b,$ somos, $$(a-b, \frac{a^n-b^n}{a-b})=(c, \frac{(b+c)^n-b^n}c)=(c,\binom n 1 b^{n-1}+\binom n 2 b^{n-2}c+\cdots+c^{n-1})=(c,nb^{n-1})$$

Como $(c,b)=(a-b,b)=(a,b)=d,$ deje $\frac c C=\frac b B=d$, de modo que $(B,C)=1$

$$(c,nb^{n-1})=(Cd,nB^{n-1}d^{n-1})=d(C,nB^{n-1}d^{n-2})=d(C,nd^{n-2})$$ as $(B,C)=1$

$$(c,nb^{n-1})=d(C,nd^{n-2})=(Cd,nd^{n-1})=(c,nd^{n-1})=(a-b, nd^{n-1})$$

Answer 3

Tenemos $\large\ d=(a,b)\ ,\ $ $\large\ \exists\ A,B\ \ \ a=Ad,\ b=Bd,\ (A,B)=1$

$\large\left(\LARGE\frac{a^n-b^n}{a-b}\large,a-b\right)=(n d^{n-1},a-b)$
$\large\ d\left(d^{n-2}\cdot\LARGE\frac{A^{\ n}-B^{\ n}}{A-B}\large,A-B\right)=d(n d^{n-2},A-B)$

Deje $\large\ m=A-B\ ,\ \ \ \ $ $\large\ (m,B)=1$

$\large\ \left(d^{n-2}\cdot\LARGE\frac{(B+m)^n-B^n}{m}\large,m\right)=(nd^{n-2},m)$
$\large\ \left(d^{n-2}\cdot(nB^{n-1}+Qm),m\right)=(nd^{n-2},m)\ \ \ \ $ para algunos entero Q
$\large\ \left(nd^{n-2}B^{n-1},m\right)=(nd^{n-2},m)\ ,\ \ $ que es debido a $\large (m,B)=1$.

Answer 4

Aquí están algunas de las principales ideas:

• Reducir el $a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}$ modulo $a-b$ mediante el establecimiento $a=b$.

• Nota:$a=(a,b)\cdot\frac{a}{(a,b)}$$\left(\frac{a}{(a,b)},a-b\right)=\left(\frac{a}{(a,b)},b\right)=\frac{(a,b)}{(a,b)}=1$.

Answer 5

Esta respuesta el caso de $\gcd(a,b)=1$ solamente.

**Idea principal:**$\let\v\nu\let\geq\geqslant$ investigar cuántas veces un primer divide $a^n-b^n$.

Para $m\in\mathbb N$, vamos a $\v_p(m)$ el valor del exponente (multiplicidad) de la prime $p$ en el primer factorización de $m$.

Lema (Levantar El Exponente) vamos a $a,b\in\mathbb Z$, $p\mid a-b$ primer, $p\nmid a$$n\in\mathbb N$.

1. Si $p\nmid n$, $$\v_p(a^n-b^n)=\v_p(a-b).\tag{1}$$

2. Si $p$ es impar, entonces $$\v_p(a^n-b^n)=\v_p(a-b)+\v_p(n).\tag{2}$$

3. Si $p=2$$4\mid a-b$, $$\v_2(a^n-b^n)=\v_2(a-b)+\v_2(n).\tag{3}$$

4. Si $p=2$$2\mid n$, $$\v_2(a^n-b^n)=\v_2(a^2-b^2)+\v_2(\tfrac n2).\tag{4}$$

Prueba. Ver aquí (Lema 1, el Teorema 1, el Teorema 2, Teorema 4)
Tenga en cuenta que 1. está contenida en la 2. y 3. excepto cuando se $p=2$$4\nmid a-b$.
4. es una sencilla consecuencia de 3. por dejar que $a\mapsto a^2$, $b\mapsto b^2$ y $n\mapsto\frac n2$.

Deje $p$ ser un divisor primo de $a-b$. Debido a $\gcd(a,b)=1$,$p\nmid a$. Vamos a demostrar que $$\v_p\left(\gcd\left(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b\right)\right)=\v_p(\gcd(n,a-b)).$$

Si $p$ es impar o $p=2$$4\mid a-b$,$\v_p\left(\frac{a^n-b^n}{a-b}\right)=\v_p(n)$$(2),(3)$, por lo tanto

$$\begin{align*}\v_p\left(\gcd\left(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b\right)\right)&=\min\left(\v_p\left(\frac{a^n-b^n}{a-b}\right),\v_p(a-b)\right)\\ &=\min(\v_p(n),\v_p(a-b))\\ &=\v_p(\gcd(n,a-b)).\end{align*}$$

El único caso de la izquierda es$p=2$$4\nmid a-b$.
Si $n$ es impar, entonces por $(1)$ sabemos que $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ es extraño demasiado.
Si $n$ es incluso, $(4)$ da $\v_p(a^n-b^n)\geq\v_p(a-b)+1$, por lo tanto $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ es incluso.

De cualquier manera, $$\v_2\left(\gcd\left(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b\right)\right)=\v_2(\gcd(n,a-b)).$$