¿Cómo tomo el logaritmo natural del producto $L(\theta) = \prod _{i=1}^n\left(\frac{1}{\theta \:}e^{-\frac{x_i}{\theta \:}}\right)$

Question

Tengo la función de verosimilitud $L(\theta) = \prod _{i=1}^n\left(\frac{1}{\theta \:}e^{-\frac{x_i}{\theta \:}}\right)$ . Estoy tratando de tomar el logaritmo natural, $\ln(L(\theta))$ pero no estoy seguro de cómo funciona con respecto a $\prod$ . ¿Alguien sabe cuál es el proceso para este registro?

Answer 1

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de las cosas que lo componen. Así que $$\ln L(\theta)=\sum_{i=1}^n \ln\left(\frac{1}{\theta}e^{-x_i/\theta}\right)=\sum_{i=1}^n \left(\ln\left(\frac{1}{\theta}\right)-\frac{x_i}{\theta}\right)$$

Answer 2

$$\ln{(L(\theta))} =\sum_{i=1} ^n \ln\left(\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x_i}{\theta}}\right)$$

Esto se debe a la regla del producto para logaritmos, que dice que $\log_a (BC) = \log_a (B) + \log_a (C)$ .