Función generadora de la coloración de un dodecaedro

Question

Encontrar las funciones generadoras en variables $r,b,g$ para el número de formas de pintar un dodecaedro de rojo, azul y verde.

Por ejemplo, el coeficiente de $r^5b^4g^3$ debe ser el número de formas de pintar el dodecaedro con 5 caras rojas, 4 caras azules y 3 caras verdes.

Sé que debemos utilizar el teorema de enumeración de Polya, pero no tengo ni idea de cómo continuar. Se agradece cualquier solución.

También se permite que r=0,o b=0 o g=0

Answer 1

Sea $G$ sea el grupo de simetría de rotaciones del dodecaedro.
A continuación responder sabemos que su índice de ciclos es igual a

$$Z(G) = \frac{1}{60} \left( a_1^{12} + 24 a_1^2 a_5^2 + 20 a_3^4 + 15 a_2^6\right).$$ Nos dice el grupo de simetría $G$ consiste en $60$ permutaciones:

• $\phantom{0}1$ permutación que es un producto de doce $1$ -es decir, la identidad.
• $24$ permutaciones que es un producto de dos $1$ -ciclos y dos $5$ -ciclos.
• $20$ permutaciones que es un producto de cuatro $3$ -ciclos.
• $15$ permutaciones que es un producto de seis $2$ -ciclos.

Digamos que vamos a colorear las caras de un dodecaedro con $n$ colores $c_1, c_2, \ldots, c_n$ .
Lemma de Burnside nos dicen que el número de formas es igual a

$$\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |X_g|$$

donde $X_g$ es el conjunto de coloraciones (por colores $c_1, c_2, \ldots c_n$ ) invariante bajo la acción de $g$ .

Consideremos el caso $g$ es un producto de $m$ ciclos disjuntos de longitud $\ell_1, \ell_2, \ldots, \ell_m$ con $\sum_{j=1}^m \ell_j = 12$ .
Si una coloración es invariante bajo $g$ entonces cada cara pertenece al mismo ciclo deben tener el mismo color. El $j^{th}$ ciclo de longitud $\ell_j$ contribuirá con un factor $c_1^{\ell_j} + c_2^{\ell_j} + \cdots + c_n^{\ell_j}$ al GF.

Esto conduce a una variante simplificada de Teorema de la enumeración de Pólya :

Para calcular la función generadora de $n$ colores $c_1, c_2, \cdots, c_n$ ,
sustituir toda apariencia de $a_k$ en el índice del ciclo por $c_1^k + c_2^k + \cdots + c_n^k$ .

Aplíquelas al caso de $3$ colores $r, g, b$ la función generadora que buscamos viene dada por

$$\frac{1}{60} \left( (r+g+b)^{12} + 24 (r+g+b)^2 (r^5+g^5+b^5)^2 \\+ 20(r^3+g^3+b^3)^4 + 15 (r^2+g^2+b^2)^6\right)$$