Tenga en cuenta que no necesito las condiciones $\gcd(a,b)=1$ y $\gcd(c,d)=1$ aquí. Por lo tanto, estas condiciones se omiten en la prueba a continuación.
Sea $\textbf{A}:=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$. Suppose that $\textbf{x}:=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in\mathbb{Q}^2$ satisface $\mathbf{A}\,\mathbf{x}=\mathbf{b}$ donde $\mathbf{b}=\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}\in\mathbb{Z}^2$ . Entonces, claramente, $$\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\,\mathbf{b}\in\left(\frac{1}{k}\mathbb{Z}\right)^2\,.$$ Ahora, dejemos que $X:=kx$ y $Y:=ky$ . Entonces, nos interesan los enteros $X,Y$ tal que $0\leq X,Y<k$ y $$aX+bY=ku\text{ and }cX+dY=kv$$ con $u,v\in\mathbb{Z}$ .
Sea $l:=\gcd(b,d)$ . Ahora, para cada $i=0,1,2,\ldots,m-1$ donde $m:=\frac{k}{l}\in\mathbb{Z}_{>0}$ demostraremos que existen exactamente $l$ pares $(X,Y)$ con $X=li$ y $0\leq Y<k$ que cumpla la condición.
Si $X=li$ entonces $bY=ku-ali=l(mu-ai)$ y $dY=kv-cli=l(mv-ci)$ de lo que se deduce que $dl(mu-ai)=bl(mv-ci)$ o $$m(du-bv)=(ad-bc)i=ki=mli\,.$$ Eso es, $du-bv=li$ . Porque $\gcd(b,d)=l$ existe tal $u$ y $v$ digamos, $(u,v)=\left(u_0,v_0\right)$ y otras soluciones son $$(u,v)=\left(u_0+\frac{b}{l}t,v_0+\frac{d}{l}t\right)$$ para algunos $t\in\mathbb{Z}$ . Entonces, necesitamos $$\left(ku_0-ali\right)+k\frac{b}{l}t=ku-ali=bY\in\big\{0,b,2b,\ldots,(k-1)b\big\}\,.$$ Por lo tanto, $mt+\frac{l\left(mu_0-ai\right)}{b}\in\{0,1,2\ldots,(k-1)\}$ (señalando que $b\mid l\left(mu_0-ai\right)$ ). Existen exactamente $l=\frac{k}{m}$ valores de $t$ que cumple esta condición, por lo que existen exactamente $l$ valores de $Y$ siempre que $X=li$ .
Por el contrario, desde $d(ku-aX)=bd Y=b(kv-cX)$ obtenemos $du-bv=X$ . Esta ecuación muestra que, si $(X,Y)$ es una solución, entonces $l$ debe dividir $X$ . Por lo tanto, hay exactamente $lm=k$ pares $(X,Y)$ de donde también $(x,y)$ con las propiedades requeridas.
Solución alternativa
Sea $K:=\big\{\textbf{A}\,\textbf{x}\,|\,\textbf{x}\in[0,1)^2\big\}$ . Denotemos por $I$ el número de puntos integrales interiores de $K$ y $B$ el número de puntos límite integrales del cierre topológico $\bar{K}$ de $K$ . Es obvio que el número de puntos límite integrales de $K$ es $\frac{B}{2}-1$ . Desde $\textbf{A}$ es invertible, el número de soluciones racionales $\textbf{x}\in[0,1)^2$ a la condición $\textbf{A}\,\textbf{x}\in\mathbb{Z}^2$ es precisamente el número de puntos integrales en $K$ que es $I+\frac{B}{2}-1$ . Debido al Teorema de Pick, el área de $\bar{K}$ que es $k$ debe ser igual a $I+\frac{B}{2}-1$ . En consecuencia, hay exactamente $k$ soluciones racionales $\mathbf{x}\in[0,1)^2$ .
Este resultado es válido en $n$ dimensión. Véase [Número de soluciones racionales $\mathbf{x}\in[0,1)^n$ a la condición de matriz $\mathbf{A}\,\mathbf{x}\in\mathbb{Z}^n$](https://math.stackexchange.com/questions/1861350/number-of-rational-solutions-mathbfx-in0-1n-to-the-matrix-condition-ma?noredirect=1&lq=1) .
