¿Por qué hay un $a_0$ término en la serie de Fourier?

Question

Fórmula de la serie de Fourier

Entiendo la razón por la que la serie de Fourier suma la función seno y coseno, pero no comprendo cuál es el propósito de la función $a_0$ ¿en la parte delantera? ¿Es el $a_0$ allí en caso de que el original $f(x)$ no pasa por $(0, 0)$ . No soy un genio de las matemáticas así que lo siento si esta es una pregunta estúpida.

Answer 1

Para las funciones periódicas seno y coseno, el valor medio de la función a lo largo de un período es cero, es decir. $$\frac 1T\int_T \sin\left(\frac{2\pi}T x\right)dx=0$$ Esto significa que si la serie de Fourier de una función se expresa totalmente en términos de funciones seno y coseno puras, entonces su valor medio es cero. Pero a veces tenemos una función periódica cuyo valor medio no es cero. Por ejemplo:

Así que aquí viene el poderoso $a_0$ para deshacerse de ese sesgo y expresar el resto de la función en términos de senos y cosenos.

Answer 2

Tienes toda la razón; puede que te resulte un ejercicio esclarecedor intentar averiguar cuál sería la serie de Fourier de $x \mapsto 1$ sería si no se le permitiera el acceso al $n=0$ de la expansión del coseno.

Answer 3

$b_{n} sin(nx) + a_{n} cos(nx)$ poner $n = 0$ .