Funciones invariantes y teorema de Kac

Question

Estoy resolviendo el siguiente ejercicio (1.2.1) de "Fundamentos de Teoría Ergódica" de Viana & Oliveira.

Demuestre que si $f: [0,1] \rightarrow[0,1]$ es una transformación medible que preserva la medida de Lebesgue $m$ entonces $m$ -casi en todas partes $x \in [0,1]$ satisface $$\liminf_n n|f^n(x)-x| \le 1.$$

Siguiendo la pista presentada en el libro, supondré que la afirmación es falsa e intentaré llegar a un absurdo utilizando el Teorema de Kac.

Supongamos que la afirmación es falsa. Entonces existe un conjunto $B$ con $m(B)>0$ tal que existe un $b>1$ y un $k \in \mathbb{N}$ con $n|f^n(x)-x|>b$ para cada $n \ge k$ .

Podemos tomar un punto de densidad $a$ de $B$ y $r$ lo suficientemente pequeño como para que el conjunto $E=B\cap B(a; r)$ satisface $m(E)>r$ .

Ahora estoy tratando de encontrar un límite inferior a $\rho_E$ la transformación de primera vuelta a $E$ . Si pudiera demostrar que $\rho(E)(x) >\frac{b}{r}$ por ejemplo, tendríamos $$\int_E \rho_E \; dm \ge m(E)\cdot\frac{b}{r}\ge b>1,$$

y eso violaría el Teorema de Kac, pero estoy teniendo problemas para mostrar un límite inferior adecuado. Agradecería cualquier ayuda.

Gracias.

Answer 1

Vas por buen camino. Repitiendo la primera parte del argumento: Supongamos que la afirmación es falsa. Entonces hay un conjunto $B$ con $m(B)>0$ tal que existe un $b>1$ y un $k \in \mathbb{N}$ con $n|f^n(x)-x|>b$ para cada $n \ge k$ .

Desde $B$ no contiene puntos fijos de un iterado $f^j$ los conjuntos $$B_\ell:=\{x \in B: \, \forall j \in [1,k], \quad |f^j(x)-x|>1/\ell\}$$ satisfacer $\cup_{\ell \ge 1} B_\ell=B$ Así que $m(B_\ell)>0$ para algunos $\ell$ .

Elija un punto de densidad $a \ne 0,1$ de $B_\ell$ y arreglar $\delta>0$ tal que $(2-\delta)b>2$ . Entonces para todo lo suficientemente pequeño $r$ el conjunto $E=B\cap (a-r,a+r)$ satisface $m(E)>(2-\delta)r$ . Fijamos tal $r <1/(2\ell)$ y también exigen que $b/(2r)>k$ .

Fijar $x \in E$ . Para cada $n \in [k , b/(2r)] $ tenemos $$|f^n(x)-x|>b/n \ge 2r \,.$$ La desigualdad $|f^n(x)-x|> 2r$ también es válido para $n \in [1,k]$ por nuestra elección de $r$ y la definición de $B_\ell$ .

Así, el tiempo de retorno $\rho_E$ a $E$ satisface $\rho_E(x) \ge \frac{b}{2r}$ para todos $x \in E$ Así que $$\int_E \rho_E \; dm \ge m(E)\cdot\frac{b}{2r}\ge (2-\delta)b/2>1 \,,$$ contradiciendo el lema de Kac.