Evaluación de $I=\oint \frac{\cos(z)}{z(e^{z}-1)}dz$ a lo largo del círculo unitario

Question

Evalúa lo siguiente a lo largo del círculo unitario: $$I=\oint \frac{\cos(z)}{z(e^{z}-1)}dz$$

Intenté hacerlo por $$f(z)=\frac{\cos(z)}{e^{z}-1}$$

Entonces la integral sería: $$I=2\pi if(0)$$

El problema es que $f(0)$ me da $\frac{1}{0}$ .

¿Cómo lo resuelvo?

Answer 1

Esta integral se puede expresar con ayuda del teorema del residuo: $$I=\oint \frac{\cos(z)}{z(e^{z}-1)}dz=2\pi i \sum_{k}\; \mathrm{Res}(f,a_k)$$
Sólo hay una singularidad extraíble en $z=0$ y usted debe ser capaz de encontrar el redsidue de $f$ en $z=0$ , basta con encontrar el coeficiente en $z^1$ de la siguiente expansión en serie de $z^2 f(z)$ : $$ z^2 \frac{\cos(z)}{z\left(e^{z}-1\right)}=\frac{z \cos(z)}{e^{z}-1}=1-\frac{z}{2}+O(z^2)$$ es decir $$\mathrm{Res}\left(\frac{\cos(z)}{z\left(e^{z}-1\right)},0\right)=-\frac{1}{2}$$ y así $$I=\oint \frac{\cos(z)}{z(e^{z}-1)}dz=- i \pi$$

Para un cálculo un poco más complicado basado en el teorema de la integral de Cauchy, véase, por ejemplo, esto responder o usando simplemente el teorema del residuo ver esto un .