Mostrar $\mathbb{R}^p\ni t \mapsto f_t \in L_\infty(\mathbb{R}^p, \mathcal B_p, \lambda_p, \mathbb{C})$ no es continua

Question

Sea $f_t(x):=f(x+t)$

Quiero demostrar que $f \mapsto f_t$ es una biyección lineal e isométrica de $L_\infty(\mathbb{R}^p, \mathcal B_p, \lambda_p, \mathbb{C})\to L_\infty(\mathbb{R}^p, \mathcal B_p, \lambda_p, \mathbb{C})$

$f \mapsto f_t$ es obviamente lineal y biyectiva, la inversa es $f \mapsto f_{-t}$ . Debido a la invariancia de traslación de $\lambda_p$ tenemos $\|f_t\|_p=\|f\|_p$ y por lo tanto el mapeo es un isomorfismo lineal y biyectivo.

¿Cómo puedo demostrar que para $f \in L_\infty(\mathbb{R}^p, \mathcal B_p, \lambda_p, \mathbb{C})$ la cartografía $\mathbb{R}^p\ni t \mapsto f_t \in L_\infty(\mathbb{R}^p, \mathcal B_p, \lambda_p, \mathbb{C})$ no es continua?

Answer 1

Considere $p=1$ y $f$ el indicador del intervalo de la unidad. A continuación, $\left\lVert f_t-f_s\right\rVert_\infty=1$ para todos los números reales distintos $s$ y $t$ .