¿Por qué la ley del cuadrado inverso hace imposible que un objeto levite mediante una combinación de fuerzas de acción a distancia?

Question

Del libro Thinking Physics:

Supongamos que la luna tuviera carga negativa. Entonces ejercería una fuerza de repulsión sobre los electrones cercanos a ella. Pero la fuerza gravitatoria de la luna ejerce una fuerza de atracción sobre el electrón. Supongamos que el electrón se encuentra a una milla por encima de la superficie lunar y la atracción equilibra exactamente la repulsión, por lo que el electrón flota.

A continuación, supongamos que el mismo electrón estuviera a tres kilómetros por encima de la Luna. A mayor distancia

[...]

c) la gravedad seguiría equilibrando la electrostática por lo que el electrón flotaría

[...]

Si el polvo pudiera flotar, debido a una carga electrostática, a una pulgada por encima de la superficie lunar, podría flotar a cualquier altura y, por tanto, ¡flotaría directamente fuera de la Luna! De hecho, es imposible suspender o hacer levitar un objeto mediante cualquier combinación de campos de fuerza estáticos eléctricos, gravitatorios o magnéticos, porque cada uno de ellos obedece a la ley del cuadrado inverso.

No lo entiendo, ¿cómo justifica la ley del cuadrado inverso esta imposibilidad?

Answer 1

Supongamos que tienes dos fuerzas, $\frac{A}{r^{2}}$ y $\frac{B}{r^{2}}$ .

A distancia $r_{0}$ Supongamos que la fuerza "A" es mayor que la fuerza "B".

Entonces estamos suponiendo:

$\frac{A}{r_{0}^{2}} > \frac{B}{r_{0}^{2}}$

Así que

$A > B$

Pero esto significa que en cualquier $r$ ,

$\frac{A}{r^{2}} > \frac{B}{r^{2}}$

Si alguna vez son iguales, deben ser siempre iguales, por lo que el objeto sentiría cero fuerza neta de estas fuerzas, pero podría ser agitado por algo más, por lo que no se mantendría en su lugar. Si una es mayor, debe ser siempre mayor, por lo que el objeto caería o volaría hasta el infinito.

A de forma estable suspender un objeto, lo que se busca es un mínimo local del potencial, de modo que cualquier perturbación que se aleje del mínimo provoque una fuerza que lo empuje hacia atrás. En 1-D, $F = -\nabla\phi$ y $\frac{dF}{dx} < 0$ para que moviéndose en dirección $x$ crea una fuerza en el $-x$ dirección. En el caso de los campos gravitatorio y eléctrico, esto sólo es cierto en los lugares donde hay materia, $\nabla^{2}\phi \propto \rho$ por lo que acabas teniendo que tocar material, lo que ya no es levitación.

Los campos de fuerza magnéticos no obedecen exactamente la ley del cuadrado inverso, pero la principal razón para descartarlos es que se requiere velocidad para utilizarlos. Si se permite que las partículas se muevan, entonces sí se puede "suspenderlas" o "hacerlas levitar" en un sentido más laxo de esas palabras, como la Tierra alrededor del Sol, o las partículas cargadas atrapadas en campos magnéticos en el CERN. Véase Teorema de Earnshaw .