Duda en la sección 4.3 de *Álgebra lineal* de Hoffman y Kunze

Question

En la sección 4.3 ( Interpolación de Lagrange ) de Hoffman y Kunze Álgebra lineal 2ª edición, en la página 126, después de la demostración del teorema 3, los autores escriben

A partir de los resultados de la siguiente sección obtendremos una demostración totalmente distinta de este teorema.

Sin embargo, no encuentro otra prueba del Teorema 3 en la siguiente sección. Tal vez esté oculta en los resultados que allí se demuestran, pero no soy capaz de deducir ninguna prueba de este tipo a partir de esos resultados. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar esa otra demostración del teorema 3?

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El enunciado del teorema en cuestión es el siguiente:

Teorema 3. Si $F$ es un campo que contiene un número infinito de elementos distintos, el mapeo $f \to f^\sim$ es un isomorfismo del álgebra de polinomios sobre $F$ en el álgebra de funciones polinómicas sobre $F$ .

Answer 1

La primera prueba se basa en la fórmula de interpolación de Lagrange. Pero también puedes demostrar el teorema utilizando este resultado de la página 129:

Corolario 2: Un polinomio $f$ de grado $n$ sobre un campo $F$ tiene como máximo $n$ raíces en $F$ .

Prueba . Sea $f$ y $g$ sean dos polinomios tales que $f^\sim = g^\sim$ . Configuración $h = f - g$ se obtiene $h^\sim = (f-g)^\sim = f^\sim - g^\sim = 0$ . En particular $h^\sim(x) = 0$ para todos $x \in F$ y puesto que $F$ es infinito, $f$ tiene infinitas raíces, y por lo tanto es el polinomio nulo.