¿Existe una función definida en el poder conjunto de los números naturales para el intervalo de $0$ a $1$, $p:2^{\Bbb N}\rightarrow [0,1]$, tal que $p$ es finitely aditivo, es decir, $p(A_1\cup\ldots\cup A_n)=p(A_1)+\ldots +p(A_n)$ para todos los pares de subconjuntos disjuntos $A_i$ $\Bbb N$ y algunos $n\in\Bbb N$, pero $p$ no es countably aditivo. $p$ también satisface la condición de que $p(\Bbb N)=1$, $p(\emptyset)=0$.
Respuestas
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Quieres ver la versión de esta pregunta en MO. En su respuesta, Stefan Geschke indica que el axioma de elección es necesaria para la exhibición de ejemplos, ya que cualquiera de estos finitely aditivo medida nos da los conjuntos de reales sin la propiedad de Baire. (En un comentario, Clinton Conley proporciona más detalles.) El punto es que hay modelos de la teoría de conjuntos sin el axioma de elección, pero donde el axioma de dependiente de la elección tiene (por lo clásico básico de análisis puede ser llevado a cabo), y donde todos los conjuntos de reales tiene la propiedad de Baire.
Stefan también muestra cómo hay ejemplos diferentes de ultrafilter medidas (el ejemplo dado por Ross Millikan aquí).
Como se señaló en la otra respuesta a la MO pregunta, por KP Hart, Eric van Douwen escribió un buen artículo sobre este, lo que indica que muchos de los ejemplos y de las diferentes propiedades que pueden tener:
Eric K. van Douwen. Finitely aditivo medidas en $\mathbb N$. Topología De Appl., 47 (3), (1992), 223-268. MR1192311 (94 c:28004).
El documento proporciona muchas referencias adicionales. Por ejemplo, indica que de Banach encontrado una traducción invariante ejemplo: Para cualquier $X$ y cualquier $n$, $X$ y $X+n=\{m+n\mid m\in X\}$ tienen la misma medida.
No sé de un razonable completo de "clasificación", o si esto es posible (a partir de una descripción conjunto teórico punto de vista). Ciertamente problemas similares han sido estudiados. En particular, ver
Piotr Borodulin-Nadzieja, y Mirna Džamonja. En el problema de isomorfismo de medidas de álgebras Booleanas. J. Math. Anal. Appl., 405 (1), (2013), 37-51. MR3053484.
Permítanme añadir que William es la respuesta de la densidad medida puede ser extendida a una finitely aditivo medida en todos los conjuntos. Por ejemplo, si $\mathcal U$ es un servicio gratuito de ultrafilter, a continuación, en lugar de los límites, se pueden calcular "$\mathcal U$-límites", que siempre existen, y coinciden con lo ordinario límites cuando estos existen. Las medidas que se extienden a la densidad de la medida puede ser muy bien caracterizados, ver
Martin Sleziak, y Miloš Ziman. Lévy grupo y medidas de la densidad, J. Teoría de los números, 128 (12), (2008), 3005-3012. MR2464850 (2009j:11019).
Su resultado puede ser fácilmente descrito: El Gravamen grupo $\mathcal G$ es el conjunto de todas las permutaciones $\pi$ $\mathbb N$ tal que $$\lim_{n\to\infty}\frac{|\{k\mid k\le n<\pi(k)\}|}n=0.$$ It turns out that a finitely additive measure on $\mathcal P(\mathbb N)$ extends the density measure iff it is $\mathcal G$-invariante.
Shabaz
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Un libre de ultrafilter va a hacer el trabajo. No estoy seguro de que es la única cosa que. Cada subconjunto o su complemento es la medida dada a $1$, y de todos los subconjuntos finitos tienen medida $0$. No es countably aditivo, como el contable de la unión de todos los embarazos únicos añade a cero de la medida. Si $A$ $B$ son disjuntas no tienen medida $1$ porque si $A$ tiene una medida de $1$, $A \subset B^c$, por lo $B^c$ debe tener medida $1$ $B$ tiene medida cero.
William Ballinger
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El natural de la densidad ($p(X)=\lim_{n\to\infty} \#\{k\in X\big|k\le n\}/n)$ satisface la mayoría de los requisitos de su $p$ (es finitely aditivo, $p(\Bbb{N}) = 1$, e $p(\emptyset)=0$)
Sin embargo, no está definida en todos los subconjuntos de a $\Bbb{N}$. Por ejemplo, para el conjunto de los números enteros con un número impar de dígitos binarios, que el límite no existe.
