Demostrar que una matriz es suryectiva

Question

Es un $n \times n$ ¿matriz siempre suryectiva? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo utilizando el teorema de rango-nulidad?

Answer 1

No lo es. Para ver esto considera la matriz cero como un mapa desde $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ que claramente no es suryectiva.

Answer 2

Recordemos que suryectivo significa que para cualquier $b\in \mathbb{R^n}$ el sistema

$$Ax=b$$

tiene solución, que es verdadera si y sólo si $\dim(Im(A))=n$ que si y sólo si $A$ es de rango completo.

Answer 3

Tal vez te confundes porque hay un hecho que dice que un $n\times n$ matriz que tiene núcleo nulo es siempre suryectiva. Esta es una aplicación clásica del teorema de nulidad de rango porque $$n=\dim Ker (A) + \dim Im (A)$$ y está claro que $\dim Ker(A)=0 \implies \dim Im(A)=n$ lo que en este caso significa que $A$ es suryectiva.