Sea $x_0=a,x_1=b$
$$x_{n+1}=\Big(1-\dfrac{1}{2n}\Big)x_n+\dfrac{ x_{n-1}}{2n}, n\ge1$$
Encuentre $\lim x_n.$
Si el límite existe, puedo conectar el límite como $l$ para obtener una ecuación de $l$ cuya raíz será el límite.
Pero en este caso se convierte en una identidad.
No sé cómo calcular ese límite. Por favor, ayuda.
$$x_{n+1}-x_n=-\dfrac{1}{2n}(x_n-x_{n-1})$$ $$\dfrac{x_{n+1}-x_n}{x_n-x_{n-1}}=-\dfrac{1}{2n}$$ Multiplicar primero $n-1$ podemos obtener $$\dfrac{x_n-x_{n-1}}{x_1-x_0}=\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}(n-1)!}$$ $$x_n-x_{n-1}=\dfrac{(-1)^{n-1}(b-a)}{2^{n-1}(n-1)!}$$ ¡Ahora telescopio! $$x_n-a=(b-a)\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^{k}}{k!}\to (b-a)e^{-\frac{1}{2}}$$ $$\lim_{n\to\infty}x_n=a+(b-a)e^{-\frac{1}{2}}$$
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