Resolución de ecuaciones trigonométricas.

Question

Resolver para $\theta$ $[0°<\theta<180°]$ $$\sin2\theta + \sin4\theta=\cos\theta + \cos3\theta.$$

Mi solución está aquí: $$\sin2\theta + \sin4\theta=\cos\theta + \cos3\theta.$$ Tras utilizar la fórmula de transformación, obtuve $$\sin3\theta\cos\theta=\cos3\theta\cos\theta.$$

No podía continuar desde aquí.

Answer 1

\begin{array}{rcl} \sin 2\theta+\sin 4\theta &=& \cos \theta+\cos 3\theta \\ 2\sin 3\theta \cos \theta &=& 2\cos 2\theta \cos \theta \\ \cos \theta \, (\sin 3\theta-\cos 2\theta) &=& 0 \\ \cos \theta \, (3\sin \theta-4\sin^{3} \theta+2\sin^{2} \theta-1) &=& 0 \\ \cos \theta \, (1-\sin \theta)(4\sin^{2} \theta+2\sin \theta-1) &=& 0 \\ \end{array}

$\therefore \, \cos \theta=0$ , $\, \sin \theta=1 \,$ o $\displaystyle \, \sin \theta=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$

$\because \, 0 < \theta < 180^{\circ}$ , rechazar $\, \sin \theta \leq 0$

$\therefore \, \theta = 18^{\circ}$ , $90^{\circ}$ (dos veces) o $\, 162^{\circ}$

Answer 2

Utilización de la identidades trigonométricas puedes escribir

$$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$ $$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$$ $$\cos3\theta=\cos^3\theta-\sin^2\theta\cos\theta$$ $$\sin4\theta=4\sin\theta\cos\theta\left(\cos2\theta-\sin^2\theta\right)$$ Entonces obtendrá $$2\sin\theta\cos\theta\left(1+2\cos^2\theta-2\sin^2\theta\right)=\cos\theta\left(1+\cos^2\theta-\sin^2\theta\right)$$ Es decir $\cos\theta=0$ ( $\theta=\pi/2$ ) tiene al menos una solución.

Answer 3

Utilizando $$\sin x-\cos x =\sqrt{2} \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$ la ecuación dada puede representarse como $$\cos \theta \sin \left(3\theta - \frac{\pi}{4}\right)=0.$$

Answer 4

Se convierte en

$$\sin3\theta\, \cos\theta=\cos2\theta\, \cos\theta, $$

Primero la solución del factor común

$$ \cos \theta = 0 \rightarrow \theta = ( 2 n - 1 ) \pi/2 $$

Primera solución $$ \pi/2$$

Siguiente resolver lo que queda

$$ \sin 3\theta = = \cos 2 \theta = \sin (\pi/2- 2 \theta) $$

$$ 5 \theta = \pi/2 $$

$$ \theta_1 = \pi/10 ,\theta_2 = \pi-\pi/10 = 9 \pi/10. $$

Answer 5

Utilizar las fórmulas de Prostaféresis sugeridas,

$$ \sin 2\theta+\sin 4\theta = \cos \theta+\cos 3\theta \\ 2\sin 3\theta \cos \theta = 2\cos 2\theta \cos \theta \\ \cos \theta \, (\sin 3\theta-\cos 2\theta) = 0 $$

Si $\cos \theta=0,\theta=(2n+1)90^\circ$ donde $n$ es cualquier número entero

Necesitamos $0<(2n+1)90^\circ<180^\circ\implies-1<n<1\implies n=0$

Si no $\cos 2\theta=\sin 3\theta=\cos(90^\circ-3\theta)$

$2\theta=360^\circ m\pm(90^\circ-3\theta)$

$+\implies\theta=72^\circ m+18^\circ$ y necesitamos $0<72^\circ m+18^\circ<180^\circ\implies m=?$

$-\implies\theta=-360^\circ m+90^\circ$

¿Puedes seguir desde aquí?