¿Existe alguna relación entre la teoría de modelos y la teoría de categorías?

Question

Según la "Teoría de Modelos" de Chang y Keisler, Teoría de Modelos = Álgebra Universal + Lógica. La Teoría de Modelos generalizó el Álgebra Universal en el sentido de que permitimos relaciones mientras que en el Álgebra Universal sólo permitimos funciones.

Además, sabemos que la Teoría de Categorías generalizó el Álgebra Universal. De wikipedia:

Blockquote Dada una lista de operaciones y axiomas en álgebra universal, las álgebras y homomorfismos correspondientes son los objetos y morfismos de una categoría. La teoría de categorías se aplica a muchas situaciones en las que el álgebra universal no lo hace, lo que amplía el alcance de los teoremas. A la inversa, muchos teoremas que se aplican al álgebra universal no se generalizan a la teoría de categorías.

Esto sugiere que podría haber cierto solapamiento entre la Teoría de Modelos y la Teoría de Categorías. Espero que alguien pueda explicar con más detalle la relación (si es que existe).

Answer 1

La lógica categorial es, sin duda, un lugar donde buscar. Aunque, según mi limitada experiencia, la teoría de modelos parece interesarse sobre todo por los modelos construidos a partir de establece mientras que la lógica categorial suele interesarse principalmente por los modelos de categorías más generales.

Otro lugar donde buscar es la teoría de categorías localmente presentables y accesibles, que son las categorías de modelos (en Set) de una gran clase de teorías. En su estudio surgen varias ideas y técnicas de la teoría de modelos, y lo contrario también puede ser cierto. Los libros estándar son:

• Adámek y Rosicky, Categorías localmente presentables y accesibles
• Makkai y Paré, Categorías accesibles: los fundamentos de la teoría de modelos categóricos

(Makkai y Paré sí que pensaban que había una relación).

Answer 2

Otro vínculo distinto al explicado por Charles Stewart es la relación con las categorías accesibles. Ésta fue propuesta por Michael Makkai y Bob Paré como fundamento de la teoría de categorías para la teoría de modelos ( Categorías accesibles: los fundamentos de la teoría de modelos categoriales , Contemporary Mathematics 104, AMS, 1989). Este enfoque me pareció especialmente convincente.

La idea básica es pensar que los modelos de una teoría completa forman una categoría con incrustaciones elementales como morfismos. El hecho de que se trate de una categoría accesible es básicamente el Teorema de Löwenheim-Skolem. Me gusta mucho que este punto de vista no esté limitado por la lógica de primer orden. Por ejemplo, se aplica igualmente a la lógica infinitaria y a las clases elementales abstractas.

Otra conexión proviene de la clasificación de los topoi (véase Mac Lane & Moerdijk, Láminas en geometría y lógica Capítulo X). También hay fuertes lazos con la Dualidad de la Piedra Abstracta (todavía estoy intentando ponerme al día ahí, así que no puedo decir mucho más).

Answer 3

Desde luego que sí. El año pasado hubo una gran conferencia en Durham, Nuevas direcciones en la teoría de modelos de campos que tenía como "segundo tema" las conexiones entre la teoría de modelos y la teoría de categorías.

Quizás la charla más relevante para su pregunta fue la de Martin Hyland, Teoría de los modelos categóricos . Se puede ver un vídeo en el sitio web, pero por desgracia parece que empieza a mitad de la charla. En cualquier caso, empezó diciendo que todo lo que iba a explicar se sabía en 1982, lo que quizá era una referencia a Makkai-Pare (como mencionan Mike Shulman y F.G. Dorais) y a esa época.

Un lógico distinguido, pero no categórico, que parece apoyar firmemente la teoría de modelos categóricos es Angus Macintyre. He aquí su introducción a 'Model theory: geometrical and set-theoretic aspects and prospects', Boletín de Lógica Simbólica 9 (2003):

Veo la teoría de modelos cada vez más separada de la teoría de conjuntos, y la noción tarskiana de modelo teórico de conjuntos ya no es central en la teoría de modelos. En gran parte de las matemáticas modernas, el componente teórico de conjuntos es de menor interés, y las nociones básicas son geométricas o teóricas de categorías. En geometría algebraica, los esquemas o espacios algebraicos son las nociones básicas, y los antiguos "conjuntos de puntos en un espacio afín o proyectivo" no son más que casos especiales restrictivos. Las nociones básicas pueden darse teóricamente o functorialmente. Para comprender en profundidad los casos afines históricamente importantes, lo mejor es trabajar con esquemas más generales. La relativización y la "transferencia de estructura" resultantes son incomparablemente más flexibles y potentes que todo lo conocido hasta ahora en la "teoría de modelos teóricos de conjuntos".

Ahora me parece incontrovertible que la estructura fina de las definiciones se convierta en la preocupación central de la teoría de modelos, hasta el punto de que uno puede imaginar fácilmente que el tema se llame "Teoría de la definibilidad" en un futuro próximo.

Answer 4

Entre la teoría de modelos y la teoría de categorías en sentido amplio: nada realmente convincente, porque una categoría, por sí sola, no sirve de interpretación para nada.

Entre la teoría de modelos y la lógica categorial, sin embargo: sí, creo que el solapamiento es grande.

Un poco de historia: el hombre que más merece, en mi opinión, ser llamado el padre de la teoría de modelos es Alfred Tarski, que procedía de una escuela polaca de lógica que, según tengo entendido, estaba muy dentro de la escuela algebraica. Su teoría de modelos era más bien una reelaboración de la lógica algebraica polaca (con esto no quiero menospreciar sus logros).

Blackburn y otros (2001, pp 40-41) hablan de un "podría haber sido" para el teorema de representación de Jónsson-Tarski:

...aunque las álgebras modales eran herramientas útiles... parecía de poca ayuda para guiar las intuiciones lógicas. El [teorema] debería haber barrido para siempre esta aparente deficiencia, pues en esencia ¡mostraron cómo representar álgebras modales como las estructuras que ahora llamamos modelos! De hecho, hicieron mucho más que eso. Su técnica de representación es esencialmente una técnica de construcción de modelos, por lo que su trabajo proporcionó las herramientas técnicas necesarias para demostrar el resultado de completitud que dominó [el trabajo sobre lógica modal antes de Kripke].

A continuación presentan una bonita anécdota que muestra cómo Tarski no parecía pensar que este enfoque algebraico proporcionara una semántica para la lógica modal, incluso después de que Kripke subrayara lo importante que era para la semántica de Kripke. Parece que a veces la lógica algebraica y la teoría de modelos son más parecidas de lo que parece.

Al igual que la teoría de modelos, la lógica categórica puede parecer una forma especial de hacer lógica algebraica. Y con algunas teorías, la teoría de modelos y la lógica algebraica a veces parecen diferir sólo en trivialidades; con la lógica categórica tengo más dudas a la hora de hacer juicios generales, pero a veces yo también lo siento así.

Ref: Blackburn, de Rijke y Venema (2001) Lógica modal CUP.

Answer 5

Charlamos sobre este tema en aquí a raíz de las observaciones de David Kazhdan.