¿Cómo se demuestra que en $S^n$ (con la conexión estándar) cualquier geodésica entre dos puntos fijos forma parte de un gran círculo?
Para el caso especial de $S^2$ He intentado un enfoque ingenuo de sólo escribir las ecuaciones geodésicas (escribiendo las ecuaciones de Euler-Lagrange de la función de longitud) y resolverlos para obtener algunas ideas, pero incluso si las ecuaciones son resolubles no puedo ver cómo demostrar que son grandes círculos. (las soluciones son algunas funciones bastante complicadas que no me dan mucha idea)
He consultado el artículo sobre los Grandes Círculos en Wolfram Mathworld para encontrar un enfoque geométrico por coordenadas, pero me ha parecido bastante críptico.
Se sabe que en los grupos de Lie semisimples compactos cualquier subgrupo de un parámetro genera una geodésica y $S^n$ es el cociente de 2 grupos de Lie semisimples compactos $SO(n+1)/SO(n)$ . ¿Es útil esta línea de pensamiento para esta pregunta?
\================================================================================= Después de algunas de las respuestas vinieron permítanme poner en "una" forma de ver lo anterior para $S^2$ (me pregunto si es correcto). Si $\theta$ y $\phi$ son las coordenadas estándar en $S^2$ entonces las ecuaciones de la curva son
$$\ddot{\theta} = \dot{\phi}^2 sin(\theta)cos(\theta)$$ $$\dot{\phi}sin^2{\theta} = k$$
donde $k$ es alguna constante establecida por los datos iniciales de la curva.
Ahora, dado el punto inicial, puedo elegir mi sistema de coordenadas de forma que los datos iniciales tengan el aspecto siguiente $\dot{\phi}=0$ , $\theta = \text{some constant}$ , $\dot{\theta}=\text{some constant}$ , $\phi = \text{some constant}$ . Entonces las ecuaciones diferenciales me dicen que el $k=0$ y la única forma de que ocurra por tiempos es teniendo ,
$$\dot{\phi} = 0$$
Lo que me da claramente una longitud en este sistema de coordenadas. Por lo tanto la ecuación geodésica da como solución un gran círculo.
Seguramente no una prueba elegante como la referencia de Bar.
Pero espero que esto sea correcto.
{Como un amigo mío señaló que este conjunto de coordenadas está motivada por el hecho de que la forma en que la "energía" de la curva está siendo parametrizado el z-componente del momento angular se conserva que es de hecho mi segunda ecuaciones de Euler-Lagrange}
