Las geodésicas sobre esferas son grandes círculos

Question

¿Cómo se demuestra que en $S^n$ (con la conexión estándar) cualquier geodésica entre dos puntos fijos forma parte de un gran círculo?

Para el caso especial de $S^2$ He intentado un enfoque ingenuo de sólo escribir las ecuaciones geodésicas (escribiendo las ecuaciones de Euler-Lagrange de la función de longitud) y resolverlos para obtener algunas ideas, pero incluso si las ecuaciones son resolubles no puedo ver cómo demostrar que son grandes círculos. (las soluciones son algunas funciones bastante complicadas que no me dan mucha idea)

He consultado el artículo sobre los Grandes Círculos en Wolfram Mathworld para encontrar un enfoque geométrico por coordenadas, pero me ha parecido bastante críptico.

Se sabe que en los grupos de Lie semisimples compactos cualquier subgrupo de un parámetro genera una geodésica y $S^n$ es el cociente de 2 grupos de Lie semisimples compactos $SO(n+1)/SO(n)$ . ¿Es útil esta línea de pensamiento para esta pregunta?

\================================================================================= Después de algunas de las respuestas vinieron permítanme poner en "una" forma de ver lo anterior para $S^2$ (me pregunto si es correcto). Si $\theta$ y $\phi$ son las coordenadas estándar en $S^2$ entonces las ecuaciones de la curva son

$$\ddot{\theta} = \dot{\phi}^2 sin(\theta)cos(\theta)$$ $$\dot{\phi}sin^2{\theta} = k$$

donde $k$ es alguna constante establecida por los datos iniciales de la curva.

Ahora, dado el punto inicial, puedo elegir mi sistema de coordenadas de forma que los datos iniciales tengan el aspecto siguiente $\dot{\phi}=0$ , $\theta = \text{some constant}$ , $\dot{\theta}=\text{some constant}$ , $\phi = \text{some constant}$ . Entonces las ecuaciones diferenciales me dicen que el $k=0$ y la única forma de que ocurra por tiempos es teniendo ,

$$\dot{\phi} = 0$$

Lo que me da claramente una longitud en este sistema de coordenadas. Por lo tanto la ecuación geodésica da como solución un gran círculo.

Seguramente no una prueba elegante como la referencia de Bar.

Pero espero que esto sea correcto.

{Como un amigo mío señaló que este conjunto de coordenadas está motivada por el hecho de que la forma en que la "energía" de la curva está siendo parametrizado el z-componente del momento angular se conserva que es de hecho mi segunda ecuaciones de Euler-Lagrange}

Answer 1

Basta con demostrar que las geodésicas que pasan por un punto concreto tienen todas esa forma, y podemos hacerlo sólo para el polo norte $N=(1,0,\dots,0)$ ya que el grupo de isometría de la esfera es transitivo. Además, sólo tenemos que considerar un vector tangente unitario en $N$ para el estabilizador de $N$ en el grupo de isometría de la esfera actúa transitivamente sobre los vectores unitarios en el espacio tangente en $N$ . Así que $v=(0,1,0,\dots,0)$ sea la velocidad inicial de una geodésica $\gamma$ a partir de $N$ . Dado que el mapa $(x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_1,x_2,-x_3,\dots,-x_n)$ preserva tanto el punto como el vector, la geodésica $\gamma$ también debe ser preservada por ella. Se deduce inmediatamente que la curva está contenida en un gran círculo.

Answer 2

Aunque José ha planteado esencialmente la misma cuestión, yo sólo quiero ampliarla (en realidad es sólo un comentario, pero siempre me quedo sin espacio en la caja de comentarios).

Lo que nadie ha mencionado explícitamente es que usted debe tienen problemas para resolver la ecuación de Euler-Lagrange para el funcional de longitud. La ecuación de Euler-Lagrange es una EDO de segundo orden, pero muy degenerada. Y lo sabes incluso antes de empezar. ¿Y por qué? Bien, supongamos que tenemos una solución. Entonces si reparametrizas esa curva usando cualquier parametrización arbitraria (es decir, cualquier función monótona del parámetro original), la nueva curva parametrizada sigue siendo una solución de la ecuación de Euler-Lagrange. Esto significa que la EDO tiene un espacio dimensional infinito de soluciones y no se parece en nada a cualquier EDO que hayamos aprendido en nuestros cursos o libros de texto sobre EDO.

Para evitarlo, hay que utilizar el llamado funcional energético $E[\gamma] = \int_0^1 |\gamma'(t)|^2 dt$ (que no es invariante bajo la reparametrización de la curva) en lugar del funcional de longitud (que sí lo es). La desigualdad de Holder muestra que un mínimo del funcional de energía es necesariamente un mínimo del funcional de longitud parametrizado por una arclongitud por veces constante, es decir, una geodésica de velocidad constante.

La ecuación de Euler-Lagrange para el funcional de energía es una buena EDO no degenerada de 2º orden que puede tratarse con las técnicas y teoremas habituales de las EDO.

En cuanto a la esfera estándar, hay muchas formas diferentes de resolver las geodésicas. Para repasar las formas ya sugeridas en otras respuestas:

1) Te recomiendo que primero lo hagas sin la maquinaria de la geometría de Riemann y utilizando sólo la estructura euclidiana de $R^{n+1}$ . Utilizando la discusión anterior, deberías ser capaz de demostrar que una curva en la esfera unidad es una geodésica de velocidad constante si y sólo si su vector aceleración es siempre normal a la esfera. A continuación, deberías ser capaz de calcular las soluciones de esta EDO. La sugerencia de suponer que un punto es el polo norte y el otro se encuentra en un plano de coordenadas es buena y facilita la resolución de la EDO.

2) La otra forma es hacerlo todo intrínsecamente. En este caso, recomiendo utilizar coordenadas estereográficas y suponer que un punto es el origen en esas coordenadas. De nuevo, todo se vuelve muy fácil en esa situación.

3) Y la tercera forma es considerar la esfera como un espacio homogéneo y utilizar fórmulas para esa situación. No recuerdo los detalles, pero los aprendí del libro de Cheeger y Ebin.

Te recomiendo que trabajes las 3 formas diferentes, así como cualquier otra forma que puedas encontrar.

Como otros han señalado, los cálculos de las geodésicas en el espacio hiperbólico son idénticos, salvo que se trabaja con una "esfera unitaria" en el espacio de Minkowski en lugar del espacio euclidiano. Incluso existe la noción de proyección estereográfica (¿pero sobre qué?). También es divertido resolverlo con cuidado.

Por último, quiero señalar que, una vez que lo resuelves y lo tienes todo en la cabeza, es una imagen y una historia realmente hermosas. Y si encuentras el ángulo adecuado, todo es muy sencillo, así que puedes resolver los detalles tú mismo y no depender de leer un libro línea por línea o de que otra persona te muestre todos los detalles. Intenta obtener las ideas esenciales y los trucos necesarios (como el uso de la energía funcional) de libros, conferencias o profesores, pero intenta resolver todo lo demás desde cero (es decir, depende lo mínimo de teoremas que no puedas demostrar por ti mismo).

Answer 3

Un argumento sencillo que demuestra que las grandes circunferencias son geodésicas es que si las parametrizamos de tal manera que tengan velocidad unitaria, su aceleración es normal a la superficie. Para demostrar que todas las geodésicas son grandes círculos, basta con utilizar la unicidad del problema de valor inicial para una geodésica después de observar que a través de cada punto y en cualquier dirección hay un gran círculo.

Answer 4

Para $S^2$ Yo consideraría tomar dos puntos en el ecuador, y ver si eso es más fácil de resolver. Ya que puedes usar isometrías para mover dos puntos arbitrarios al ecuador, eso debería probarlo para $S^2$ . Para $S^n$ también debería funcionar.

Es el mismo truco que se utiliza para encontrar las geodésicas en el semiplano superior con la métrica hiperbólica, en realidad. Se calculan las geodésicas entre dos puntos situados sobre una línea vertical y luego se utilizan isometrías para encontrar el resto.

Answer 5

En realidad es bastante fácil incluso resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange en el caso de S^n. Por favor, compruebe el ejemplo 7.3 en el siguiente referencia donde la esfera S^n está parametrizada por vectores unitarios en R^(n+1).