Grandes axiomas cardinales y universos de Grothendieck

Question

Un cardenal $\lambda$ es débilmente inaccesible, si a. es regular (es decir, un conjunto de cardinalidad $\lambda$ no puede representarse como una unión de conjuntos de cardinalidad $<\lambda$ indexado por un conjunto de cardinalidad $<\lambda$ ) y b. para todos los cardinales $\mu<\lambda$ tenemos $\mu^+<\lambda$ donde $\mu^+$ es el sucesor de $\mu$ . Los cardinales fuertemente inaccesibles se definen de la misma manera, con $\mu^+$ sustituido por $2^\mu$ . Normalmente también se añade la condición de que $\lambda$ debe ser incontable.

Según tengo entendido, un "gran cardinal" es un cardinal débilmente inaccesible con algunas propiedades adicionales. En teoría de conjuntos se consideran varios "axiomas de cardinal grande", que afirman la existencia de cardinales grandes de varios tipos. Nótese que estos axiomas son bastante diferentes de, por ejemplo, la Hipótesis del Continuo. En particular, no se puede deducir la consistencia de ZFC + existe al menos un cardinal débilmente inaccesible (incontable) a partir de la consistencia de ZFC, véase por ejemplo Kanamori, The Higher Infinite, p.19. Es decir, suponiendo que ZFC sea consistente, estos axiomas no pueden demostrarse independientemente de ZFC.

Los axiomas cardinales grandes "razonables" parecen estar ordenados según su fuerza de consistencia, como se explica, por ejemplo, aquí. http://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal . Esto no es un teorema, sólo una observación. Se puede encontrar una lista de axiomas según su fuerza de consistencia, por ejemplo, en la página 472 del libro de Kanamori mencionado anteriormente. (Llama la atención que empiece por "0=1", que es un axioma muy fuerte de hecho).

Los cardenales grandes aparecen raramente en las matemáticas "cotidianas". Uno de esos casos es cuando se intenta construir los fundamentos de la teoría de categorías. Una de las formas de hacerlo (y la que me parece más atractiva) es empezar con la teoría de conjuntos y añadir el axioma del universo de Grothendieck, que afirma que todo conjunto es un elemento de un universo de Grothendieck.

(Como observación al margen, permítanme mencionar otra aplicación de los axiomas cardinales grandes: increíblemente, la solución más rápida conocida del problema de la palabra en grupos de trenzas se originó a partir de la investigación sobre los axiomas cardinales grandes; la prueba es independiente de la existencia de cardinales grandes, aunque la primera versión de la prueba sí los utilizaba. Véase Dehornoy, From large cardinals to braids via distributive algebra, Journal of knot theory and ramifications, 4, 1, 33-79).

Traducido al lenguaje de los cardinales, el axioma del Universo dice que para cualquier cardinal existe un cardinal estrictamente mayor fuertemente inaccesible. He oído varias veces que esto es bastante bajo en la lista anterior de fuerza de consistencia, pero nunca he sido capaz de entender exactamente cómo de bajo. Así que me gustaría preguntar: ¿la existencia de un (único) cardinal grande de algún tipo implica (o es equivalente a) el axioma Universo?

Answer 1

Un universo Grothendieck se conoce en teoría de conjuntos como el conjunto V _κ para un cardinal (fuertemente) inaccesible κ. Son exactamente lo mismo. Así, la existencia de un universo de Grothendieck es exactamente equivalente a la existencia de un cardinal inaccesible. Estos cardinales y los universos correspondientes se han estudiado en teoría de conjuntos durante más de un siglo.

El axioma del universo de Grothendieck (AU) es la afirmación de que todo conjunto es un elemento de un universo en este sentido. Por lo tanto, es equivalente a la afirmación de que los cardinales inaccesibles son ilimitados en los cardinales. En otras palabras, que existe una clase propia de cardinales inaccesibles. Este es el axioma que buscaba, que es exactamente equivalente a AU. En este sentido, el axioma AU es un enunciado de la teoría de conjuntos, que no tiene necesariamente nada que ver con la teoría de categorías.

Los grandes axiomas cardinales se miden fructíferamente en fuerza no sólo por implicación directa, sino también por su coherencia fuerza. Una gran propiedad cardinal LC ₁ es más fuerte que otro LC ₂ en fuerza de consistencia si la consistencia de ZFC con una LC ₁ cardinal grande implica la consistencia de ZFC con una LC ₂ cardenal grande.

Medido de esta manera, el axioma de la UA tiene una fuerza de consistencia más fuerte que la existencia de cualquier número finito o accesible de cardinales inaccesibles, por lo que uno podría pensar que es bastante fuerte. Pero, en realidad, es mucho más débil que la existencia de un único cardinal Mahlo, el siguiente escalón tradicional en la jerarquía de los grandes cardinales. La razón es que si κ es Mahlo, entonces κ es un límite de cardinales inaccesibles, y por tanto V _κ satisfará ZFC más el axioma AU. La diferencia entre AU y Mahloness tiene que ver con la espesor de la clase de cardinales inaccesibles. Por ejemplo, estrictamente más fuerte que AU y más débil que un cardinal Mahlo es la afirmación de que los cardinales inaccesibles forman una clase propia estacionaria, una afirmación conocida como el Esquema de Levy (que es demostrablemente equiconsistente con algunos otros axiomas interesantes de la teoría de conjuntos, como el Principio de Maximalidad en negrita, que he estudiado mucho). Incluso los cardinales de Mahlo se consideran bastante bajos en la jerarquía de los cardinales grandes, muy por debajo de los cardinales débilmente compactos, los cardinales de Ramsey, los cardinales medibles, los cardinales fuertes y los cardinales supercompactos. En particular, si δ es cualquiera de estos grandes cardinales, entonces δ es un límite de los cardinales de Mahlo, y ciertamente un límite de los cardinales fuertemente inaccesibles. Así que, en particular, V _δ será un modelo del axioma AU.

Bastante pocos de los axiomas de los grandes cardinales implican directamente a la UA, ya que la mayoría de ellos siguen siendo ciertos si uno cortara el universo en un cardinal inaccesible dado, un proceso que mata a la UA. Sin embargo, implícitos entre los niveles de la gran hiearquía cardinal están los axiomas de la misma forma que AU, que afirman una clase ilimitada del cardinal dado. Por ejemplo, uno podría querer tener ilimitadamente muchos cardinales Mahlo, o ilimitadamente muchos cardinales medibles, y así sucesivamente. Y la fuerza de consistencia de estos axiomas sigue siendo inferior a la fuerza de consistencia de un único cardinal supercompacto. La jerarquía es extremadamente fina e intensamente estudiada. Por ejemplo, la afirmación de que hay ilimitadamente muchos cardinales fuertes es equiconsistente con la imposibilidad de afectar a la verdad proyectiva por forzamiento. La existencia de una clase propia de cardinales de Woodin es particularmente robusta desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, y todos estos axiomas son mucho más fuertes que la UA.

Hay debilitamientos naturales de la UA que aún permiten casi todo, si no todo, lo que los teóricos de la categoría hacen con estos universos. A saber, con los universos, parecería suficiente para casi todos los propósitos de la teoría de categorías, si un universo dado U fuera simplemente un modelo de ZFC, en lugar de V _κ para un cardinal inaccesible κ. La diferencia es que U es meramente un modelo del axioma de conjunto de potencias, en lugar de estar realmente cerrado bajo los verdaderos conjuntos de potencias (y de forma similar usando Sustitución en lugar de regularidad). El debilitamiento de AU que tengo en mente es el axioma que afirma que todo conjunto es un elemento de un modelo transitivo de ZFC. Esta afirmación es estrictamente más débil en fuerza de consistencia que incluso un único cardinal inaccesible. Se puede llegar mucho más abajo, si se debilita el concepto de universo a sólo un fragmento de ZFC. Entonces se podría llegar a una versión de AU que fuera realmente demostrable en ZFC, pero que se pudiera utilizar para la mayoría de las aplicaciones en teoría cateogórica que yo sepa. En este sentido, la propia ZFC es una especie de gran axioma cardinal en relación con los fragmentos más débiles de ZFC.

Answer 2

Está muy cerca de la parte inferior del gráfico de Kanamori. La parte inferior del gráfico es el nivel de los cardinales (fuertemente) inaccesibles, que es el axioma cardinal grande más pequeño. Justo encima de los inaccesibles en la tabla están los cardinales α-inaccesibles. Resulta que el Axioma del Universo (UA) es estrictamente más débil que la existencia de un cardinal 2-inaccesible. De hecho, κ es 2-inaccesible si y sólo si κ es regular y V _κ ⊧ ZFC + UA.

En concreto, un cardinal κ es:

• 0-inaccesible si κ es regular,
• 1-inaccesible si κ es un límite fuerte regular de 0-inaccesibles,
• 2-inaccesible si κ es un límite fuerte regular de 1-inaccesibles,
• etc.

Así pues, un cardinal inaccesible es exactamente lo mismo que un cardinal 1-inaccesible, que también son precisamente los cardinales regulares κ tales que V _κ ⊧ ZFC. Si κ es 2-inaccesible, entonces hay un número ilimitado de inaccesibles λ < κ. Estos son inaccesibles en V _κ por lo que V _κ satisface UA.

Nótese que la existencia de un cardinal 2-inaccesible κ no implica directamente el Axioma del Universo. De hecho, κ bien puede ser el último cardinal inaccesible, lo que significa que puede no haber ningún universo que contenga al propio κ. Sin embargo, si κ es 2-inaccesible entonces el universo V _κ sí satisface UA, lo que significa que la existencia de un 2-inaccesible prueba la consistencia de ZFC + UA.

Aunque UA es de hecho un gran axioma cardinal, no hay forma de formular UA como la existencia de un solo cardenal grande. Sin embargo, moralmente hablando, puedes pensar en UA como diciendo "la clase de todos los ordinales (vistos como un número cardinal) es 2-inaccesible". Por supuesto, esto no tiene sentido, ya que la clase de todos los ordinales no es un conjunto, pero esto es exactamente lo que κ parece cuando se ve desde el interior de V _κ .