Pilas y gavillas

Question

Me confunde un poco el doble papel que desempeñan las poleas en la teoría de las pilas.

Por un lado, las gavillas sobre un sitio son la generalización obvia de una gavilla sobre un espacio topológico. Por otra parte, una gavilla sobre un sitio es (o mejor, su categoría asociada fibrada en conjuntos es) una pila muy particular en sí misma, por lo que es una generalización de un espacio. Esto no es completamente confuso: más o menos equivale (creo) a identificar un espacio X con la gavilla de funciones continuas con valores en X.

Pero ahora mi pregunta es la siguiente. Una condición equivalente para que una categoría fibrada sea una preapilamiento es que para dos objetos cualesquiera (sobre el mismo objeto base), el functor de flechas asociado sea una gavilla. En particular esto es cierto para una pila, así que para cualquier pila y cualesquiera dos objetos en ella tenemos una gavilla, y por tanto una pila (sobre una categoría coma).

¿Qué significa esto geométricamente?

Por ejemplo, la pila $\mathcal{M}_{g,n}$ .

Dar dos objetos en la pila (sobre el mismo objeto base) significa dar dos familias $X$ y $Y$ de curvas puntiagudas estables sobre el mismo esquema $S$ y el funtor de flechas asociado mapea cualquier otro esquema $f \colon T \rightarrow S$ al conjunto de morfismos entre $f^* X$ y $f^* Y$ . ¿Cómo debo considerar la pila asociada como un espacio?

Para evitar malentendidos doy la definición del functor de flechas. Sea $\mathcal{F}$ sea una categoría fibrada sobre $\mathcal{C}$ . Toma $U \in \mathcal{C}$ y $\xi, \eta \in \mathcal{F}(U)$ . Entonces existe un functor $F \colon \mathcal{C}/U \rightarrow Set$ definida del siguiente modo. Para un mapa $f \colon T \rightarrow U$ ponemos $F(f) = Hom(f^* \xi, f^* \eta)$ . La acción sobre las flechas requiere describir algunos diagramas, pero en realidad es la única posible.

Answer 1

A ver si he entendido bien tu ejemplo: estás arreglando $X$ y $Y$ familias de curvas sobre $S$ y ahora está considerando el functor que mapea un $S$ -esquema $T$ al conjunto de $T$ -isomorfismos $f^*X \to f^*Y$ (donde $f$ es el mapa de $T$ a $S$ ).

Si tengo las cosas claras, entonces este functor no debería ser tan malo para pensar, porque en realidad es representable, por un esquema Isom. En otras palabras, hay un $S$ -esquema $Isom_S(X,Y)$ cuyo $T$ -para cualquier $f:T \to S$ son precisamente los $T$ -isomorfismos de $f^*X$ a $f^*Y$ . (Se puede construir el esquema de Isom mirando dentro de un cierto esquema de Hilbert bien elegido).

Una manera de pensar en esto geométricamente es la siguiente: uno puede imaginar que dos curvas sobre $k$ (un campo) son isomorfas precisamente cuando ciertos invariantes coinciden (por ejemplo, para las curvas elípticas, el $j$ -invariante). (Por supuesto, esto es una simplificación, y todo el punto de la teoría de los espacios moduli/esquemas/pilas es hacerlo preciso, pero es una intuición útil). Ahora bien, si tenemos una familia $X$ en $S$ estas invariantes varían sobre $S$ para dar una colección de funciones sobre $S$ (por ejemplo, una función $j$ en el género $1$ ), y de forma similar con $Y$ . Ahora $X$ y $Y$ tendrá isomorfos precisamente en los puntos donde coinciden los invariantes, por lo que si miramos en el subesquema $Z$ de $S$ definida por la coincidencia de los invariantes, esperamos que $f^*X$ y $f^*Y$ será isomorfo precisamente si el mapa $f$ factores a través de $Z$ . Así $Z$ es una aproximación al esquema Isom.

No es precisamente el esquema Isom, porque las curvas tienen a veces no triviales y, por tanto, aunque sepamos que $X_s$ y $Y_s$ son isomorfos para algunos $s \in S$ pueden ser isomorfas en más de un sentido. Así que en realidad el esquema Isom será algún tipo de cubierta finita (posiblemente ramificada) de $Z$ .

Por supuesto, si uno persigue esta línea de intuición mucho más en serio, uno va a las nociones de pila de módulos, espacio de módulos grueso, etcétera.

Añadido: La siguiente observación adicional puede ser de ayuda:

Las familias $X$ y $Y$ en $S$ corresponden a un mapa $\phi:S \to {\mathcal M}_g \times {\mathcal M}_g$ . La pila que asigna un $T$ -esquema para $Isom_T(f^*X, f^*Y)$ es el producto fibra del mapa $\phi$ y la diagonal $\Delta:{\mathcal M}_g \to {\mathcal M}_g \times {\mathcal M}_g$ .

En el caso particular de ${\mathcal M}_g$ el hecho de que este producto de fibra sea representable forma parte de la condición que ${\mathcal M}_g$ sea una pila algebraica.

Pero en general, la construcción que describes es la construcción de un producto de fibra con la diagonal. Esto podría ayudar con la imagen geométrica, y hacer más clara la relación con la respuesta de Mike. (Para esto último:ten en cuenta que el espacio de trayectorias en $X$ tiene un proyección a $X\times X$ (tomar los dos puntos extremos), y el espacio de bucle es el producto de fibras del espacio de trayectorias con la diagonal $X\to X\times X$ .)

Answer 2

No soy geómetra, pero ésta es una forma de verlo. Sea M una pila (en groupoides, digamos) y X un objeto, y considere un solo punto p:X→M. Entonces $Hom_M(p,p)$ es una gavilla, que es el "grupo de isotropía" de la pila M en el punto p, es decir, el espacio de automorfismos de p en M. Si se piensa en las pilas como en espacios topológicos, con isomorfismos correspondientes a caminos (lo que tiene más sentido cuando se pasa a pilas ∞, donde los morfismos superiores corresponden a homotopías superiores entre caminos), entonces el objeto grupo de isotropía de un punto p corresponde al espacio de bucles ΩX de un espacio topológico X.

Answer 3

En cuanto a la primera parte de tu pregunta, tengo exactamente la misma confusión (y probablemente empeorará cuando empiece a pensar en gavillas sobre pilas...).

Hay dos cosas que me dan la ilusión de cierta comprensión.

1. Pensar en las gavillas como espacios (generalizados) probablemente no sea terrible, de la misma manera que se piensa en un haz sólo como su espacio total. Es cierto que cualquier gavilla (con valores en una categoría razonable, supongo) es la gavilla de secciones de su espacio etale. (Aunque debo confesar que no me gustan especialmente los espacios etale y soy consciente de que probablemente esta no sea la imagen correcta, ya que no deberíamos pensar en gavillas en un sitio de esta manera, pero bueno).
2. Si pensamos en las categorías fibradas (+cleavage) como presheaves con valores en la categoría 2 Cat, entonces hay una generalización de la condición de gavilla que da lugar a la noción de pila. Por supuesto, que las flechas sean una gavilla es una consecuencia de esto, así que si la generalización de la condición de la gavilla te parece más natural, entonces que las flechas sean una gavilla podría considerarse una consecuencia formal, supongo.

De todas formas es sólo una idea.