Términos invariables de la Lagrangiana Quiral

Question

Pregunta estúpida.

Consideremos una teoría global SU(N) rota espontáneamente. Quiero escribir la EFT de los bosones de Goldstone en términos del campo

$$ \Pi = e^{i\pi^a T^a} $$

donde $T^a$ son los generadores de SU(N) normalizados de manera que $\text{Tr}\left[T^a T^b\right]=1/2\delta^{ab}$. A segundo orden en derivadas en la expansión EFT, el siguiente término está sin duda permitido

$$ \mathcal{L}_\pi = -\frac{f_\pi^4}{2}\text{Tr}\left[\partial_\mu \Pi\partial^\mu \Pi^\dagger\right] $$ Este término proporciona el término cinético más auto-interacciones del pión.

Sin embargo, puedo construir otro término invariante que no contribuye al término cinético pero solo proporciona correcciones a las auto-interacciones $$ \text{Tr}\left[\Pi^\dagger\partial_\mu\Pi\right]\text{Tr}\left[\partial_\mu\Pi^\dagger \Pi \right] $$

Hay que tener en cuenta que este término está compuesto por dos órdenes en derivadas y cuatro órdenes en inserciones de campo.

Me parece que este término no se encuentra en la literatura. ¿Por qué? ¿Es cero? ¿Es un operador redundante?

Answer 1

Para mayor simplicidad, denotaré $\hat{\pi} = \pi^a T^a$.

El término de traza invariante es cero. De hecho

$$ \partial_\mu \Pi \cdot \Pi^\dagger = \left(i\partial_\mu \hat{\pi}\right)\Pi\cdot \Pi^\dagger = \left(i\partial_\mu \hat{\pi}\right) $$

Luego obtienes $\text{Tr}\left[\partial_\mu \Pi \cdot \Pi^\dagger\right] = i\,\text{Tr}\left[\partial_\mu \hat{\pi}\right]=0 $ porque los generadores son sin traza.