Dar una prueba ecuacional $ \vdash (\exists x)(A \lor B) \equiv (\exists x)A \lor (\exists x)B $

Question

Dar una prueba ecuacional $$ \vdash (\exists x)(A \lor B) \equiv (\exists x)A \lor (\exists x)B $$

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Lo que he probado

$(\exists x)(A \lor B)$

Aplicación de Definición de $\exists$

$\lnot (\forall x)\lnot (A \lor B)$

Aplicación de De morgan

$\lnot (\forall x) (\lnot A \land \lnot B)$

Aplicación de Distributividad de $\forall$ en $\land$

$\lnot (\forall x) \lnot A \land \lnot(\forall x) \lnot B$

Aplicación de Definición de $\exists$

$(\exists x)A \land (\exists x)B$

¿Qué puedo hacer ahora?

Véase George Tourlakis, Lógica matemática (2008) o este Correo electrónico: para obtener una lista de axiomas y teoremas.

Answer 1

El paso ∀-distributividad sobre ∧ es erróneo. La negación no se aplica a (∀x) porque (∀x) no es una oración, así que no puedes simplemente meter ¬(∀x). He aquí una forma de proceder.

$$¬(∀x)(¬A ∧ ¬B)$$

$$¬((∀x)¬A ∧ (∀x)¬B)$$

$$¬(¬(\exists x)A ∧ ¬(\exists x)B)$$

$$(\exists x)A \lor (\exists x)B$$