$P$ es una matriz de rotación con $\theta=30$ y $$A=\begin{bmatrix} 1&1\\1&0\end{bmatrix}$$ y que $Q=PAP^{T}$ donde $P^{T}$ es P transpuesto entonces qué es $P^T(Q^{2005})P$ . Resolví para $Q$ pero no da una buena matriz cualquier truco o ideas son bienvenidos. Gracias
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La clave es recordar que $P$ como matriz de rotación es ortogonal $$ P^TP = 1 $$ por lo que para $n\geq 2$
$$ (P^TQP)^n = P^TQ(PP^T)QP(P^TQP)^{n-2} = P^TQ^nP$$
Ahora relaciona $Q$ a $A$ cuyas potencias matriciales se pueden calcular con bastante facilidad, porque $A$ se puede diagonalizar.
Elevar una matriz diagonalizable a alguna potencia funciona esencialmente de la misma manera. Digamos $D$ es diagonal tal que
$$ A = S^{-1}DS $$ entonces $$ A^n = S^{-1}DSS^{-1}DS\cdots = S^{-1}D^nS$$
