Sea $E$ sea un espacio de Banach. Sea $F$ sea el conjunto de todos los $f\in E^*$ tal que $\left<f,e_n\right>\to 0$ para cada secuencia básica normalizada $\{e_n\}$ . Es fácil ver que $F$ es un subespacio cerrado de $E^*$ .
En $F$ puntos separados de $E$ ?
Tenga en cuenta que si $E$ es reflexivo, entonces $F=E^*$ ya que cada secuencia básica se está encogiendo (lo que parece demasiado fuerte).
En general, no es así: si $E=l_{\infty}(\mathbb{Z})$ entonces $F\cap l_1=\{0\}$ . Sea $f=(f_n)\in l_1$ . WLOG un número infinito de $f_n$ no negativo (de lo contrario, sustituya $f$ con $-f$ ). Reordenando las coordenadas, podemos suponer que $f_n\ge 0$ cuando $n>0$ .
Tomemos la secuencia de Rademacher $r_1=(...,0,0,1,-1,1,-1,...)$ , $r_2=(...,0,0,1,1,-1,-1,1,1,...)$ , $r_3=(...,0,0,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,...)$ y así sucesivamente, que es una secuencia básica en $l_\infty$ .
Sea $n$ sea tal que $f_1+...+f_n>\frac{2}{3}\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ . Entonces, para cualquier $m$ tal que $2^m\ge n$ , $\left<f,r_m\right>=f_1+...+f_n\pm f_{n+1}\pm f_{n+2}...>\frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty}f_n\not\to 0$ .
Si $E=C[0,1]$ tomando variaciones de la base de Schauder se obtiene que $F$ no contiene ni medidas discretas, ni la medida de Lebesgue.
