¿Por qué $\pi$ en la probabilidad de que un número sea cuadrado?

Question

La probabilidad de que un número no sea cuadrado (es decir, que no tenga ningún divisor que sea un cuadrado, un cubo, etc.) es $6/\pi^2$ . He visto muchas apariciones de $\pi$ y esto también es similar a ellos. En todos ellos se puede explicar intuitivamente por qué aparece pi en ellos. Pero no veo ninguna conexión entre los números sin cuadrado y $\pi$ . Así que mi pregunta es:

Por qué $\pi$ ¿aparece aquí?

Nota: No quiero pruebas rigurosas, quiero explicaciones intuitivas.

Answer 1

Lo más intuitivo que se me ocurre sería la función Zeta de Riemann. Estás trabajando con cuadrados, y vas a sumar un montón de cuadrados. De forma similar, si quisieras números sin cubos, obtendrías la constante de Apéry.

Answer 2

• $6/\pi^2$ aparece en la densidad de números libres de cuadrados porque $\zeta(2)=\pi^2/6$ y cada número entero es únicamente de la forma $k n^2$ con $k$ libre de cuadrados.

• Entonces $\zeta(2)=\pi^2/6$ porque $$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_n \frac1{(z-n)^2}$$ Esta última fórmula es mágica: el LHS menos el RHS es una función entera acotada, por tanto constante, que es el gran logro del análisis complejo.

• Si no te gusta entonces el video mencionado en el comentario está diciendo que $$\sum_{n=0}^{2^k} \frac1{|2^k (e^{2i \pi (2n+1)/2^{k+1}}-1)|^2}=1/4$$ y que $$\lim_{k\to \infty} \sum_{n=0}^{2^k} \frac1{|2^k (e^{2i \pi (2n+1)/2^{k+1}}-1)|^2}=\sum_{n=-\infty}^\infty \lim_{k\to \infty} \frac1{|2^k (e^{2i \pi (2n+1)/2^{k+1}}-1)|^2}$$ $$ = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac1{ |i\pi (2n+1)|^2} = \frac1{\pi^2}2(1-1/4)\zeta(2)$$