Métrica intrínseca sin geodésicas

Question

Parece que tengo el ejemplo necesario, pero quiero que sea sencillo y autoexplicativo...

Construir un espacio métrico completo no trivial $X$ con métrica intrínseca que no tiene geodésicas minimizadoras no triviales.

Definiciones:

• Una métrica $d$ se llama intrínseco si para dos puntos cualesquiera $x$ , $y$ y cualquier $\epsilon>0$ hay un $\epsilon$ -punto medio $z$ es decir $d(x,z),d(z,y)<\tfrac12 d(x,y)+\epsilon$ .

• Una geodésica minimizadora es no trivial si une dos puntos distintos.

• Un espacio mérico es no trivial si contiene dos puntos distintos.

Observaciones:

• Claramente, $X$ no puede ser localmente compacta.

Answer 1

Bueno, la bola de unidad en $c_0$ es casi lo que quieres (no hay una única curva más corta entre puntos). Todo lo que necesitamos ahora es potenciar las "circunvalaciones" y dar desventaja a las "líneas rectas". Esto puede hacerse fácilmente tomando como elemento de distancia $(2+\sum_n 2^{-n}x_n)^{-1}\|dx\|_\infty$ que nunca es inferior al elemento de distancia habitual en $c_0$ y nunca superior a 3 veces en la bola unitaria. Ahora, si tenemos cualquier curva continua de longitud finita $x(t)$ de $y$ a $z$ parametrizado por la arclitud, podemos acortarlo fácilmente sustituyendo el parámetro $m$ -ésima posición por el máximo del valor real de $x_m(t)$ y $y_m+t(z_m-y_m)/d+\frac 12 \min(t,d-t)$ donde $d$ es la longitud de $x(t)$ que funcionará si $m$ es suficientemente grande ya que $\max_t|x_m(t)|\to 0$ como $m\to\infty$ y ambas funciones cambian más lentamente que la distancia a lo largo de la curva original.

Esto es ciertamente autoexplicativo (la curva más corta escapa de $c_0$ a $\ell^\infty$ ) pero no sé si es lo suficientemente sencillo para sus propósitos.

Answer 2

Hay un ejemplo muy sencillo de un espacio métrico intrínseco y completo que no es geodésico (leído en "Lectures on Spaces of Nonpositive Curvature" de Ballmann: es el grafo en dos vértices $x,y$ unidas por aristas $e_n$ de longitud $1+1/n$ .

Por supuesto, no responde a su pregunta, pero quizá sea posible mejorar este ejemplo para convertirlo en uno que sí lo haga. Llame a $X_1$ el gráfico descrito anteriormente, y definir $X_{n+1}$ de $X_n$ como sigue: $X_n$ tiene un vértice $x'$ para cada vértice $x$ de $X_n$ más un vértice $v_e$ para cada arista $e$ de $X_n$ . Para cada arista $e=(xy)$ de $X_n$ definimos aristas $f_e^n$ y $g_e^n$ de $X{n+1}$ : $f_e^n$ conecta $x'$ a $v_e$ y tiene longitud $(1+1/n)$ veces la longitud original de $e$ y $g_e^n$ hace lo mismo pero sustituyendo $x'$ por $y'$ .

Ahora debería ser posible construir el ejemplo deseado mediante un proceso de limitación. Por ejemplo, tomar todos los vértices a lo largo de la construcción: la distancia entre dos cualesquiera de estos puntos es constante mientras esté definida, por lo que obtenemos un espacio métrico. Su terminación podría ser lo que quieres (pero no estoy tan seguro de ello después de escribir estas líneas).

Answer 3

Existen grafos métricos simpliciales (cada arista tiene longitud $1$ ) incluso cuasi isométrica a la recta real $\mathbb{R}$ (y como tal hiperbólica de Gromov) sin geodésicas infinitas: Empezar con los enteros $\mathbb{Z}$ y conectar dos enteros distintos cualesquiera $x, y$ con un intervalo simplicial de longitud $|x-y|+1$ y, por lo demás, disjuntos de $\mathbb{Z}$ . Cualquier geodésica infinita debe pasar por la concatenación de dos intervalos de este tipo, pero ninguna concatenación es una geodésica -- puede ser acortada por un solo intervalo. Espero que esto ayude con la pregunta que tienes en mente.

Answer 4

Esto no responde a la pregunta. El siguiente artículo contiene un ejemplo muy natural, a saber, el grupo de Lie regular de Frechet $Diff_{\mathcal S}(\mathbb R)$ de todos los difeomorfismos de la recta real que caen rápidamente hacia la identidad, con una métrica de Riemann invariante débil derecha inducida por el producto interior $$ G_{Id}(X,Y) = \int_{\mathbb R} X'Y'\,dx $$ en el álgebra de Lie, que tiene la siguiente propiedad:

• La distancia geodésica es una métrica intrínseca, pero no existe una sola geodésica no trivial. Pero no es completo como espacio métrico.

Este grupo es un subgrupo normal (contenido isométricamente para la distancia geodésica, por thm 4.5) en el grupo regular de Lie ligeramente mayor $Diff_{\mathcal S_1}(\mathbb R)$ donde se permiten desplazamientos en $+\infty$ . El producto interior se extiende al espacio mayor de los campos vectoriales en el álgebra de Lie. La métrica riemanniana débil invariante a la derecha resultante (véase 4.3) es plana, tiene geodésicas mínimas entre dos puntos cualesquiera (es geodésicamente convexa), permite una fórmula para la distancia geodésica y tiene una bonita terminación geodésica que es un monoide. La ecuación geodésica es la EDP de Hunter-Saxton en la recta real. Cualquier geodésica en $Diff_{\mathcal S_1}(\mathbb R)$ alcanza al subgrupo $Diff_{\mathcal S}(\mathbb R)$ como máximo dos veces.

Distancia geodésica en $Diff_{\mathcal S}(\mathbb R)$ es una métrica intrínseca; esto se deduce de la demostración del teorema 4.5.

• Martin Bauer, Martins Bruveris, Peter W. Michor: Homogeneous Sobolev metric of order one on diffeomorphism groups on the real line. Journal of Nonlinear Science 24, 5 (2014), 769-808 (pdf)